Granica z użyciem reguły de L'Hospitala

[Mixons]

Witam, proszę o rozwiązanie tego zadania:
\(\Lim_{x\to1^{+} } \frac{ \ln (x-1)}{ \ctg (x-1)}\)

Z moich obliczeń wynik wyszedł \(-\infty\), natomiast w odpowiedziach do zadania wynik jest 0. Przeanalizowałem zadanie kilka razy i nie znalazłem błędu, więc pytanie czy ja popełniłem błąd, czy takowy jest w odpowiedziach.

Z góry dziękuję!

[panb]

W odpowiedzi jest OK

[panb]

\((\ln(x-1))'= \frac{1}{x-1}\) - też tak masz?
\((\ctg x)'=- \frac{1}{\sin^2(x-1)}\) - tak ci wyszło?

[Mixons]

Tak, ale po dalszych obliczeniach wyszło mi \(-\infty\)

[radagast]

\(\Lim_{x\to1^{+} } \frac{ \ln (x-1)}{ \ctg (x-1)}=\Lim_{x\to1^{+} } \frac{ \frac{1}{x-1}}{ - \frac{1}{\sin^2(x-1)}}= \Lim_{x\to1^{+} } \frac{ -\sin^2(x-1)}{x-1}= \Lim_{x\to1^{+} } \frac{ -\sin(x-1)}{x-1} \cdot \Lim_{x\to1^{+}} \sin(x-1) =-1 \cdot 0=0\)

[Mixons]

Ale czemu z \(\frac{-sin(x-1)}{x-1}\) wyszło -1, a nie \(\frac{0}{0}\)? I na dole chyba powinno być \((x-1)^2\), ale to w tym zadaniu chyba nie ma większego znaczenia.

[panb]

Ma, to jest granica podawana w podręcznikach jako \(\frac{\sin x}{x}\).
Powinna ci być znana przynajmniej z widzenia.

Jakie \((x-1)^2\). Podobno pochodne były dobrze policzone.

[Mixons]

Aaaa już wszystko jasne, dawno się nie uczyłem i zupełnie zapomniałem o tych wzorach na granice typu \(\frac{\sin x}{x}\), a \((x-1)^2\) wyszło mi stąd, że liczyłem jeszcze raz pochodną z de L'Hospitala. Czyli wszystko przez to, że zapomniałem o powyższym wzorze.
Dziękuję bardzo za pomoc!

[panb]

Proszę bardzo. Mądremu miło pomóc.