Kryterium Leibniza

[Ktokolwiek]

Mam pytanie co do zbieżności szeregu. Załóżmy, że mam taki szereg: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{2n}\)
Z kryterium Leibniza \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n a_n\) jest zbieżny, jeżeli \(a_n\) jest malejący, a jego granica jest równa 0 . Czy to kryterium działa kiedy mamy \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1} a_n\)? Albo jakąkolwiek \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-x} a_n\) dla \(x \in Z\)?

@Edit
Przy okazji, żeby nie zaśmiecać strony kolejnym postem. Jakie kryterium zastosowalibyście do \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}\)? d'Alemberta nie da rady.

[panb]

Przy okazji, żeby nie zaśmiecać strony kolejnym postem. Jakie kryterium zastosowalibyście do \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}\)? d'Alemberta nie da rady.

Kryterium porównawcze - to rozbieżna bestia.

[radagast]

\
Przy okazji, żeby nie zaśmiecać strony kolejnym postem. Jakie kryterium zastosowalibyście do \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}\)? d'Alemberta nie da rady.

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+1)!}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n+1}=\) rozbieżny (kryterium nie potrzebne )

[panb]

Nie wiem czy to rozwieje twoje wątpliwości, ale \((-1)^{n+i}=(-1)^n \cdot (-1)^i\)

[Ktokolwiek]

Nie wiem czy to rozwieje twoje wątpliwości, ale \((-1)^{n+i}=(-1)^n \cdot (-1)^i\)

Nie wiem, czy dobrze Cie zrozumiałem. \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{2n} = \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n}\frac{-1}{2n}\) No i teraz \(a_n = \frac{-1}{2n}\) Faktycznie jego granica to 0, ale na pewno nie jest malejący. W takim razie co? Skoro nie spełnia założeń kryterium to jest rozbieżny?

[radagast]

Mam pytanie co do zbieżności szeregu. Załóżmy, że mam taki szereg: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n+1}}{2n}\)
Z kryterium Leibniza \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n a_n\) jest zbieżny, jeżeli \(a_n\) jest malejący, a jego granica jest równa 0 . Czy to kryterium działa kiedy mamy \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1} a_n\)? Albo jakąkolwiek \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n-x} a_n\) dla \(x \in Z\)?

Najlepiej po prostu zauważyć, że to połowa szeregu anharmonicznego , a ten jest zbieżny.

[Ktokolwiek]

Najlepiej po prostu zauważyć, że to połowa szeregu anharmonicznego , a ten jest zbieżny.

Dobrze, załóżmy, że ktoś nie dopatrzy się tutaj połowy tego szeregu. Jak więc powinno się rozwiązywać takie szeregi (z dziwnymi potęgami (-1)) z kryterium Leibniza?

[radagast]

Kryterium Leibniza tu ,jak najbardziej, działa
Zauważ, że \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n+1} a_n=-\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n} a_n\)
+1 w wykładniku nie ma więc wpływu na zbieżność szeregu.

[Ktokolwiek]

Ehh, aż się człowiekowi odechciewa żyć, rzecz oczywista, a moja głupota nieskończona. Dziękuję za uświadomienie.