Oblicz sume szeregów

[Ktokolwiek]

Męczę się już trochę z tym przykładem już sporo czasu: \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\). Mam obliczyć jego sumę częściową i sumę całego szeregu. Próbowałem rozłożyć to wyrażenie na ułamki proste mając nadzieję, że coś się poskraca ale nic z tego. Mogę liczyć na jakąś podpowiedź? Będę wdzięczny.

[kerajs]

To był dobry pomysł

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=
\sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{ \frac{1}{2} }{n}+\frac{-1 }{n+1}+\frac{ \frac{1}{2} }{n+2})=
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \frac{1}{2} }{n}-\sum_{k=2}^{ \infty } \frac{ 1 }{k}+\sum_{l=3}^{ \infty } \frac{ \frac{1}{2} }{l}=\\=
\frac{ \frac{1}{2} }{1}+\frac{ \frac{1}{2} }{2} +\sum_{n=3}^{ \infty } \frac{ \frac{1}{2} }{n}- \frac{1}{2}- \sum_{k=3}^{ \infty } \frac{ 1 }{k}+\sum_{l=3}^{ \infty } \frac{ \frac{1}{2} }{l}= \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}- \frac{1}{2}= \frac{1}{4}\)

[panb]

Sumy częściowe też podobnie da się załatwić.
\(\frac{1}{n(n+1)(n+2)}= \frac{1}{2n}- \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{2(n+2)}=\frac{1}{2n}- \frac{2}{2(n+1)}+ \frac{1}{2(n+2)}= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)+ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1} \right)\)

Teraz

• \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)(i+2)}= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} \right) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{i+2} - \frac{1}{i+1} \right)= \frac{1}{2} \left( 1-\frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{2} \right)\)
  
  Zatem \(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)(i+2)}= \frac{1}{4}- \frac{1}{2(n+1)(n+2)}\)

Stąd, przy \(n \to \infty\) dostajemy \(\frac{1}{4}\)