Zbieżność szeregu

[Keendo]

a) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+n^{2}}{n^{4}}\)

b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \log n}\)

[panb]

Fakt:

• \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^p}\) jest zbieżny dla p>1

a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2+n^2}{n^4}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2}{n^4} +\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n^2}\) - i po sprawie, prawda?

b) Twierdzenie

• Dla szeregów postaci \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n a_n\),gdzie \(a_n>0\) mamy
  jeśli dla wszystkich n, \(a_{n+1}<a_n\) oraz \(\Lim_{n\to \infty } a_n=0\), to szereg \(\sum_{n=1}^{ \infty }(-1)^n a_n\) jest zbieżny.

Łatwo sprawdzić, że \(\frac{a_n}{a_{n+1}} >1\) i pozostałe warunki też są spełnione, więc jest zbieżny.