Wykorzystując definicję liczby e oraz wzór dwumianowy Newtona wykaż, że:
\(\Lim_{n\to \infty } (1+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \ldots + \frac{1}{n!}) = e\)
Wykaż, że... Liczba Eulera.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Arni123
- Czasem tu bywam
- Posty: 135
- Rejestracja: 06 wrz 2011, 10:39
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 52 razy
- Płeć:
Jak mniemam należy według intencji autora skorzystać z rozwinięcia \(e^{x}\) w szereg dla \(x=1.\) Zatem \(e\) możemy definiować jako:
\(e = \sum\limits_{n=0}^\infty {1 \over n!} = 1 + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
+ {1 \over 4!} + \cdots\)
Ciąg, którego granicę mamy obliczyć jest \(n-\)tą sumą częściową powyższego szeregu liczbowego, zatem:
\(1 + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}+
\cdots+ {1 \over n!} \le e\)
Ponadto \(e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n\). Jednakże stosując wzór dwumianowy Newtona możemy zauważyć, że:
\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n= \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}\), a ponieważ \(n(n-1)\ldots(n-k+1) \le n^{k}\) to:
\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n= \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k} \le \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\). Mamy zatem:
\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le 1 + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}+
\cdots+ {1 \over n!} \le e\)
Skoro wyrażenie po lewej stronie pierwszej nierówności dąży do \(e\), a wyrażenie po prawej stronie drugiej nierówności jest równe \(e\) to na mocy twierdzenia o trzech ciągach:
\(\Lim_{n\to \infty } (1+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \ldots + \frac{1}{n!}) = e\)
\(e = \sum\limits_{n=0}^\infty {1 \over n!} = 1 + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
+ {1 \over 4!} + \cdots\)
Ciąg, którego granicę mamy obliczyć jest \(n-\)tą sumą częściową powyższego szeregu liczbowego, zatem:
\(1 + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}+
\cdots+ {1 \over n!} \le e\)
Ponadto \(e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n\). Jednakże stosując wzór dwumianowy Newtona możemy zauważyć, że:
\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n= \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k}\), a ponieważ \(n(n-1)\ldots(n-k+1) \le n^{k}\) to:
\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n= \sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}\frac{1}{n^k} \le \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{n^k}{k!}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\). Mamy zatem:
\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le 1 + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}+
\cdots+ {1 \over n!} \le e\)
Skoro wyrażenie po lewej stronie pierwszej nierówności dąży do \(e\), a wyrażenie po prawej stronie drugiej nierówności jest równe \(e\) to na mocy twierdzenia o trzech ciągach:
\(\Lim_{n\to \infty } (1+ \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \ldots + \frac{1}{n!}) = e\)