Granica funkcji

[Ariana]

Mam tu taki dość skomplikowany przykład,

\(\Lim_{x\to \infty } x ( \frac{1}{e} - ( \frac{x}{x+1} )^x )\)

Można to przekształcić:
\(\Lim_{x\to \infty } \frac{ \frac{1}{e} - ( \frac{x}{x+1} )^x}{ \frac{1}{x} }\)
i zacząć z de l'Hospitala, ale coś mi dalej nie wychodzi...

Z góry dziękuję

[Galen]

\(\Lim_{x\to \infty }( \frac{x}{x+1} )^x = \Lim_{x\to \infty }( \frac{1}{1+ \frac{1}{x} } )^x = \Lim_{x\to \infty} \frac{1^x}{(1+ \frac{1}{x})^x }= \frac{1}{e}\)

[Ariana]

Dziękuję, ale to daje w granicy symbol nieoznaczony \(\infty * 0\) , a powinna wyjść konkretna granica...

[radagast]

Mam tu taki dość skomplikowany przykład,

\(\Lim_{x\to \infty } x ( \frac{1}{e} - ( \frac{x}{x+1} )^x )\)

Można to przekształcić:
\(\Lim_{x\to \infty } \frac{ \frac{1}{e} - ( \frac{x}{x+1} )^x}{ \frac{1}{x} }\)
i zacząć z de l'Hospitala, ale coś mi dalej nie wychodzi...

To rzeczywiście trudna granica.
Zacznijmy od policzenia pochodnej \(\left(\left(\frac{x}{x+1} \right)^x \right)'=...=\left(\frac{x}{x+1} \right)^x \cdot \left( \frac{1}{x+1} +\ln\frac{x}{x+1} \right)\)
i teraz:
\(\Lim_{x\to \infty } \frac{ \frac{1}{e} - ( \frac{x}{x+1} )^x}{ \frac{1}{x} }=^H=\Lim_{x\to \infty } \frac{-\left(\frac{x}{x+1} \right)^x \cdot \left( \frac{1}{x+1} +\ln\frac{x}{x+1} \right)}{ -\frac{1}{x^2} }=\Lim_{x\to \infty } \left(\frac{x}{x+1} \right)^x\Lim_{x\to \infty } \frac{ \left( \frac{1}{x+1} +\ln\frac{x}{x+1} \right)}{ \frac{1}{x^2} }= \frac{1}{e} \Lim_{x\to \infty } \frac{ \left( \frac{1}{x+1} +\ln\frac{x}{x+1} \right)}{ \frac{1}{x^2} }=\\^H=...= \frac{1}{e} \cdot \left(- \frac{1}{2} \right)= -\frac{1}{2e}\)
uff, było ciężko ale się udało:

ScreenHunter_193.jpg (14.89 KiB) Przejrzano 1096 razy

PS Pominęłam niektóre fragmenty (tam gdzie ... ) w nadziei, że będziesz pytać jeśli sama sobie nie poradzisz.