Granica ciągu - dwa przykłady

[Ariana]

Nie wiem jak obliczyć taką granicę (powinno wyjść 1/8 )
\(\)\[\(\lim_{x \to 8} \frac{8 - x}{sin(\frac{1}{8} \pi n)}\)\]

Oraz to (powinno wyjść 1)
\(\)\[\(\lim_{x\to 0} \frac{arctg } {x}\)\]

Z góry dziękuję

[radagast]

Nie wiem jak obliczyć taką granicę (powinno wyjść 1/8 )
\(\)\[\(\lim_{x \to 8} \frac{8 - x}{sin(\frac{1}{8} \pi n)}\)\]

obawiam się ,ze masz złą odpowiedź:
\(\Lim_{x \to 8} \frac{8 - x}{\sin(\frac{1}{8} \pi x)}= \Lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin(\frac{1}{8} \pi (8-t))}= \Lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin(\pi- \frac{\pi t}{8} )}= \Lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin\frac{\pi t}{8} }= \Lim_{t \to 0} \frac{\frac{\pi t}{8} \cdot \frac{8}{\pi } }{\sin\frac{\pi t}{8} }= \frac{8}{\pi}\)

[radagast]

To samo z reguły de l' Hospitala:
\(\Lim_{x \to 8} \frac{8 - x}{\sin(\frac{1}{8} \pi x)}=^H=\Lim_{x \to 8} \frac{-1}{\frac{1}{8} \pi \cdot \cos(\frac{1}{8} \pi x)}=\frac{-1}{\frac{1}{8} \pi \cdot(-1)}= \frac{8}{\pi}\)

[radagast]

Oraz to (powinno wyjść 1)
\(\)\[\(\lim_{x\to 0} \frac{arctg } {x}\)\]

A tu odpowiedź masz dobrą :
\(\Lim_{x\to 0} \frac{\arctg x } {x}=\Lim_{t\to 0} \frac{t } {\tg t}=1\)

[Ariana]

Dziękuję