Całka podwójna

[piotrek460]

Witam, mam do rozwiązania przykład :
Oblicz pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi:
y^2=x
y^2=2x
xy = 2
xy = 4

Po narysowaniu sobie tego nadal nie do końca wiem jak ma wyglądać całka.

[panb]

wykres.png (14.32 KiB) Przejrzano 1142 razy

Najpierw trzeba podzielić obszar na 3 podobszary, obliczyć pola każdego z nich i dodać.
4 punkty ograniczające obszar mają współrzędne (od lewej):

1. \(\begin{cases} xy=2\\y^2=2x\end{cases} \iff \begin{cases}x= \sqrt[3]{2} \\y= \sqrt[3]{4} \end{cases}\)
2. \(\begin{cases}xy=2\\y^2=x \end{cases} \iff \begin{cases}x= \sqrt[3]{4}\\y= \sqrt[3]{2} \end{cases}\)
3. można odczytać z wykresu: \(\begin{cases}x=2\\y=2 \end{cases}\)
4. \(\begin{cases} xy=4\\y^2=x\end{cases} \iff \begin{cases} x=\sqrt[3]{16}\\y= \sqrt[3]{4} \end{cases}\)

Policzę pole obszaru I:

• \(P_1= \int_{ \sqrt[3]{2} }^{ \sqrt[3]{4} } \left( \sqrt{2x} - \frac{2}{x} \right)dx= \frac{2}{3} \left(2\sqrt2-2-\ln2 \right)\approx0,09\)

Dasz radę dalej?

• Odpowiedź: \(P= \frac{2}{3}\ln2\)

[piotrek460]

Myślę, że tak. Dziękuję bardzo za pomoc.

[piotrek460]

Po przeliczeniu też mi wyszło \(\frac{2}{3} ln2\) ale w odpowiedziach jest\(\frac{10}{3} ln2\). Czy ten wynik na pewno jest prawidłowy?

[kerajs]

\(P= \int_{ \sqrt[3]{2} }^{\sqrt[3]{4} } (y^2- \frac{2}{y} )dy+\int_{ \sqrt[3]{4} }^{2 } ( \frac{4}{y}- \frac{y^2}{2} )dy=...= \frac{2}{3} \ln 2\)