Oblicz sumę szeregu

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
karolakkkk
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 129
Rejestracja: 23 lis 2014, 16:48
Podziękowania: 86 razy

Oblicz sumę szeregu

Post autor: karolakkkk »

Oblicz sumę \[\sum_{n=1}^{\ \infty } \frac{n}{3^n}\].

Bardzo proszę o wytłumaczenie. Z góry dziękuję ;)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

\(S= \frac{1}{3}+2( \frac{1}{3})^2+ 3( \frac{1}{3})^3+ 4( \frac{1}{3})^4+....\\
S= \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+ 3( \frac{1}{3})^4+....\\
S= \left\{ \frac{1}{3}+( \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+ ( \frac{1}{3})^4+....\right\} + \left\{ \frac{1}{3})^2+ ( \frac{1}{3})^3+2( \frac{1}{3})^3+ 3( \frac{1}{3})^4+....\right\} \\
S= \left\{ \frac{ \frac{1}{3}}{1- \frac{1}{3}} \right\} + \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{3}+2( \frac{1}{3})^2+ 3( \frac{1}{3})^3+ ....\right\} \\
S= \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}S\\
S= \frac{3}{4}\)
ODPOWIEDZ