oblicz granice

[kate84]

a). \(\Lim_{x\to \infty } (tg \frac{ \pi x}{2x+1} )^ {\frac{1}{x}}\)

b). \(\Lim_{x\to \infty } (\frac{2}{ \pi }arctgx)^x\)

[radagast]

a). \(\Lim_{x\to \infty } (tg \frac{ \pi x}{2x+1} )^ {\frac{1}{x}}\)

\(\Lim_{x\to \infty } (\tg \frac{ \pi x}{2x+1} )^ {\frac{1}{x}}= \Lim_{x\to \infty } (\tg \frac{ \pi }{2+ \frac{1}{x} } )^ {\frac{1}{x}}=\Lim_{t\to 0^+} (\tg \frac{ \pi }{2+ t } )^ {t}=\Lim_{t\to 0^+} e^{\ln \left( (\tg \frac{ \pi }{2+ t } )^ {t} \right) }=\Lim_{t\to 0^+} e^{t\ln \left( \tg \frac{ \pi }{2+ t }\right) }=\Lim_{t\to 0^+} e^{ \frac{\ln \left( \tg \frac{ \pi }{2+ t }\right) }{ \frac{1}{t} } }=^H=\\
\Lim_{t\to 0^+} e^{ \frac{ \ctg \frac{ \pi }{2+ t } \cdot \left(- \frac{ \pi }{(2+ t)^2 } \right) }{ -\frac{1}{t^2} } }=\Lim_{t\to 0^+} e^{ \ctg \frac{ \pi}{2+ t } \cdot \frac{ \pi t^2}{(2+ t)^2 } }=e^0=1\)

[kate84]

wynik w podreczniku to \(e^{-1}\)

[radagast]

b. Ta sama sztuczka co w a. I dalej reguła do l'Hospitala. Wynik to \(e^{- \frac{2}{\pi}}\). Spróbuj sama.

[kate84]

ten wynik w a). zle Ci wyszedł

[radagast]

Sprawdź jeszcze raz. Moim zdaniem mój wynik jest ok:

ScreenHunter_182.jpg (26.58 KiB) Przejrzano 1379 razy

czerwony wykres to funkcja
niebieski y=1
zielony \(y=e^{-1}\)

[kate84]

hmmm no tak, dziekuje.
A pomozesz rozpisac to b).?

[radagast]

b). \(\Lim_{x\to \infty } (\frac{2}{ \pi }arctgx)^x\)

\(\Lim_{x\to \infty } (\frac{2}{ \pi }\arctg x)^x=\Lim_{x\to \infty }e^{\ln (\frac{2}{ \pi }\arctg x)^x}=\Lim_{x\to \infty }e^{x\ln (\frac{2}{ \pi }\arctg x)}=\Lim_{x\to \infty }e^{ \frac{\ln (\frac{2}{ \pi }\arctg x)}{ \frac{1}{x} } }=^H=\Lim_{x\to \infty }e^{ \frac{ \frac{\pi}{2 \arctg x } \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{1+x^2} }{- \frac{1}{x^2} } }=\\
\Lim_{x\to \infty }e^{ \frac{1}{ \arctg x } \cdot \frac{-x^2}{1+x^2} }=e^{ \frac{2}{ \pi } \cdot \left( -1\right) }=e^{ -\frac{2}{ \pi } }\)