pokazac arctgx

[kate84]

Pokazac, że \(arctg \frac{1}{x}+arctgx= \frac{ \pi }{2}\) dla \(x>0\)

[radagast]

Pokazac, że \(arctg \frac{1}{x}+arctgx= \frac{ \pi }{2}\) dla \(x>0\)

\(0<\arctg \frac{1}{x}<\frac{ \pi }{2}\)
\(0<\arctg x< \frac{ \pi }{2}\)
zatem
\(0<\arctg \frac{1}{x}+\arctg x< \pi\)
spróbujmy policzyć \(\tg \left(\arctg \frac{1}{x}+\arctg x \right)\):
\(\tg \left(\arctg \frac{1}{x}+\arctg x \right)= \frac{\tg \left(\arctg \frac{1}{x} \right)+\tg \left(\arctg x \right)}{1-\tg \left(\arctg \frac{1}{x} \right) \cdot \tg \left(\arctg x \right)}= \frac{ \frac{1}{x}+x }{1- \frac{1}{x} \cdot x } = \frac{ \frac{1}{x}+x }{0}\)nie ma wartości liczbowej. Jedynym argumentem z przedziału \(\left(0, \pi \right)\), dla którego \(\tg\) nie ma wartości liczbowej jest \(\frac{ \pi }{2}\) zatem
\(\arctg \frac{1}{x}+\arctg x= \frac{ \pi }{2}\)
cbdo

[kate84]

dlaczego akurat to: \(\tg \left(\arctg \frac{1}{x}+\arctg x \right)\) mamy policzyc?

[kate84]

dlaczego akurat to: \(\tg \left(\arctg \frac{1}{x}+\arctg x \right)\) mamy policzyc?

i na to obliczenie jest jakis wzór?

[radagast]

dlaczego akurat to: \(\tg \left(\arctg \frac{1}{x}+\arctg x \right)\) mamy policzyc?

bo to funkcja odwrotna do \(\arctg\).

[radagast]

dlaczego akurat to: \(\tg \left(\arctg \frac{1}{x}+\arctg x \right)\) mamy policzyc?

i na to obliczenie jest jakis wzór?

Jest. Wzór na \(\tg\) sumy.