granice ciagów

[kate84]

a). \(\Lim_{n\to \infty }( \frac{4n^3+1}{4n^3+3} )^{3n^3}\)

b). \(\Lim_{x\to -5^+ }(x+5)^{x+5}\)

c). \(\Lim_{x\to 0} \frac{sin(5x)}{xcos(2x)}-7tgx\)

[radagast]

a). \(\Lim_{n\to \infty }( \frac{4n^3+1}{4n^3+3} )^{3n^3}=\Lim_{n\to \infty }( \frac{4n+1}{4n+3} )^{3n}=\Lim_{n\to \infty }( \frac{4n+3-2}{4n+3} )^{3n}=\Lim_{n\to \infty }(1- \frac{2}{4n+3} )^{3n}=\Lim_{n\to \infty }(1- \frac{2}{4n+3} )^{ \frac{4n+3}{2} \cdot \frac{6n}{4n+3}}=e^{-1 \cdot \frac{3}{2}}=e^{- \frac{3}{2} }\)

[radagast]

b). \(\Lim_{x\to -5^+ }(x+5)^{x+5}=\Lim_{t\to 0^+ }(t)^{t}=\Lim_{t\to 0^+ }e^{\ln t^{t} }= \Lim_{t\to 0^+ }e^{t\ln t}=\Lim_{t\to 0^+ }e^{ \frac{\ln t}{ \frac{1}{t} } }=^H=\Lim_{t\to 0^+ }e^{ \frac{\frac{1}{t}}{ -\frac{1}{t^2} } }=\Lim_{t\to 0^+ }e^{ -t}=1\)

[Galen]

b)
\(\Lim_{x\to-5^+ } (x+5)^{x+5}= \Lim_{x\to -5^+}e^{ln(x+5)^{x+5}}=e^{g(x)}\)
Liczysz granicę wykładnika g(x) potęgi liczby e
\(\Lim_{x\to -5^+}ln(x+5)^{x+5}= \Lim_{x\to -5^+}(x+5)ln(x+5)= \Lim_{x\to -5^+} \frac{ln(x+5)}{ \frac{1}{x+5} }=( \frac{-\infty}{+\infty})(H)= \Lim_{x\to -5^+} \frac{ \frac{1}{x+5} }{ \frac{-1}{(x+5)^2} }=\\= \Lim_{x\to -5^+}-1(x+5)=0\)
Granica
\(\Lim_{x\to -5^+}e^{g(x)}=e^0=1\)

[radagast]

c). \(\Lim_{x\to 0} \frac{\sin(5x)}{x\cos(2x)}-7\tg x=\Lim_{x\to 0} \frac{\sin(5x)}{x\cos(2x)}=\Lim_{x\to 0} \frac{5\sin(5x)}{5x\cos(2x)}=\Lim_{x\to 0} \frac{5}{\cos(2x)} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} = \frac{5}{1} \cdot 1=5\)

[kate84]

a). \(\Lim_{n\to \infty }( \frac{4n^3+1}{4n^3+3} )^{3n^3}=\Lim_{n\to \infty }( \frac{4n+1}{4n+3} )^{3n}=\Lim_{n\to \infty }( \frac{4n+3-2}{4n+3} )^{3n}=\Lim_{n\to \infty }(1- \frac{2}{4n+3} )^{3n}=\Lim_{n\to \infty }(1- \frac{2}{4n+3} )^{ \frac{4n+3}{2} \cdot \frac{6n}{4n+3}}=e^{-2 \cdot \frac{3}{2}}=e^{-3}\)

czemu potęga 3 zniknęła?

[radagast]

\(2 \cdot 3=6\)

[kate84]

\(2 \cdot 3=6\)

?

[radagast]

No tak stoi w tabliczce mnożenia !!
(trójka, o którą pytałaś jest w tej szóstce)

[kate84]

mi wychodzi granica \(e^{-1,5}\)

[radagast]

Dobrze Ci wyszło !. Ja się pomyliłam. Gratuluję
poprawiłam u siebie. Teraz też mam dobrze

[kate84]

Brawo MY!!:D