paramerty p i g

[kate84]

Dla jakich wartosci parametru p,q funkcja \(f:R \to R\) dana wzorem:
\(f(x)=sinpx\), dla \(x \in <0, \infty )\)
\(f(x)=2x+q\), dla \(x \in ( \infty ,0)\)
jest różniczkowalna w każdym punkcie.

[kerajs]

\(\begin{cases} \sin (p \cdot 0)=2 \cdot 0+q\\ p\cos (p \cdot 0)=2\end{cases} \So \begin{cases} q=0 \\ p=2\end{cases}\)

[kate84]

dlaczego podstawiam zero do obu funkcji? skoro do drugiej nie należy zero?

[kerajs]

A kiedy zadana funkcja będzie ciągła w \(x_0=0\)?

[kate84]

i tylko tyle?zadanie z egzaminu...?

[Panko]

Teraz dla wyznaczonych wartości \(p=2 , q=0\) trzeba policzyć pochodne jednostronne w \(x=0\) i sprawdzić czy są równe ( o ile obie istnieją) .
Jak są równe to jest różniczkowalna w \(x=0\) i ogólnie w R

[kate84]

\(p\cos (p \cdot 0)=2\)

skąd tutaj cosinus?

[kerajs]

Jedyny punkt w którym funkcja może nie być różniczkowalna to \(x_0=0\), bo w pozostałych punktach różniczkowalna jest.
Aby była różniczkowalna to musi być ciągła w zerze:
\(\Lim_{x\to 0^-}f(x)=f(x_0)= \Lim_{x\to 0^+}f(x)\)
oraz pochodna musi też musi być ciągła w zerze
\(\Lim_{x\to 0^-}f'(x)= \Lim_{x\to 0^+}f'(x)\)
i właśnie te warunki są rozwiązywane w układzie równań z pierwszej odpowiedzi.