forum.zadania.info

\(\Lim_{x\to 0^- }(\frac{1}{x}-ctgx)\)

Z tego co mi się wydaje, to wystarczy to sprowadzić do wspólnego mianownika i tyle. Wychodzi \([\frac{1}{0^-}]\), czyli \(-\infty\). Może ktoś ma pomysł na to, jak to rozwiązać de l'hopitalem?

No i jeszcze :
\(\Lim_{x\to \infty}(\frac{2}{\pi}arctgx)^x\)

Wychodzi mi \(e^{-1}\), ale nie jestem pewien.

\(\Lim_{x\to 0^-}( \frac{1}{x}- \frac{cosx }{sin x} )= \Lim_{x\to 0^-} \frac{sinx-xcosx}{xsinx}=( \frac{0}{0}\;H)=\)
\(=\Lim_{x\to 0^-} \frac{xsinx}{sinx+x cosx}=( \frac{0}{0}\;\;H )= \Lim_{x\to 0^-} \frac{sinx+xcosx}{2cosx-xsinx}= \frac{0+0}{2-0}= \frac{0}{2}=0\)

\(f(x)=( \frac{2}{\pi}arctgx)^x=( \frac{2arc tg x}{\pi} )^x=e^{ln( \frac{2arctg x}{\pi} )^x}=e^{x \cdot ln( \frac{2 arctg x}{\pi} )}\)
Liczysz granicę wykładnika potęgi liczby e...
\(\Lim_{x\to \infty }x ln( \frac{2 arctgx}{\pi} )=\Lim_{x\to \infty} \frac{ln( \frac{2arctgx}{\pi} )}{ \frac{1}{x} } =( \frac{0}{0}\; H)= \frac{(ln2-ln\pi+lnarctgx)'}{( \frac{1}{x} )'}= \Lim_{x\to \infty} \frac{ \frac{1}{(1+x^2)arctgx} }{- \frac{1}{x^2} }=\\
= \Lim_{x\to \infty} \frac{-x^2}{1+x^2} \cdot \frac{1}{arctgx}=-1 \cdot \frac{1}{ \frac{\pi}{2} }=- \frac{2}{\pi}\)
Zatem granica podanej funkcji jest to
\(\Lim_{x\to \infty}f(x)=e^{- \frac{2}{\pi} }= \frac{1}{e^{ \frac{2}{\pi} }}\)

Nie rozumiem tego przekształcenia. (nie chodzi o pochodną, tylko samo przekształcenie licznika)
Skąd z \(\Lim_{x\to \infty} \frac{ln( \frac{2arctgx}{\pi} )}{ \frac{1}{x} }\) zrobiło się \(\frac{(ln2-ln\pi+lnarctgx)'}{( \frac{1}{x} )'}\)

Dobra już wiem, własności logarytmów... Do tego momentu powyżej mam tak jak ty. Trochę inaczej policzyłem pochodną i pewnie coś sknociłem. Później sobie przeliczę. Dzięki