Rozwinięcie funkcji w szereg Taylora

[sotamies]

Hej
Zacząłem niedawno temat z szeregami Taylora i dostałem do domu takie zadanie - mam rozwinąć funkcję f(x) = \(\sqrt{x}\) dla a = 1 (włącznie z trzecią pochodną), a następnie korzystając z tego rozwinięcia, obliczyć przybliżoną wartość \(\sqrt{1,5}\)

Obliczyłem już więc pochodną trzeciego rzędu
f'(x) = \(\frac{1}{ 2\sqrt{x} }\)
f''(x) = -\(\frac{1}{4x^ \frac{3}{2} }\)
f'''(x) = - \(\frac{6x^ \frac{1}{2} }{16x^3}\)

Jednak dalej już straciłem wątek i się zgubiłem.
Co powinienem dalej zrobić? Czy te pochodne w ogóle dobrze obliczyłem?

[lambdag]

No ta trzecia pochodna zle,
ma być \[\frac{3}{8*x^ \frac{5}{2} }\]

[panb]

Pochodne policzyłeś doskonale. Zapis można by poprawić, ale to szczegół. \(f'''(x)=\frac{3}{8}x^{- \frac{5}{2} }\)
\[f(x)\approx f(a)+ \frac{x-a}{1!}f'(a)+ \frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+ \frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)\] Wystarczy, czy więcej szczegółów?

[sotamies]

Ok, dziękuję, faktycznie źle ułożyłem wzór do obliczenia trzeciej pochodnej.

Po podstawieniu a do tego wzoru wyszło mi:
\(f'(a) = \frac{1}{2}\)
\(f''(a) = - \frac{1}{4}\)
\(f'''(a) = \frac{3}{8}\)

Po złożeniu wszystkiego mam
\(f(x) \approx 1 + (x-1)* \frac{1}{2} + \frac{(x-1)^2}{2}*(- \frac{1}{4}) + \frac{(x-1)^3}{6}* \frac{3}{8}\)

Po skróceniu mam:

\(f(x) \approx \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x - \frac{x^2 - 2x + 1}{8} + \frac{(x-1)^3}{16}\)


Czy do tej pory jest OK?

[sotamies]

Teraz obliczam wartość \(\sqrt{1,5}\). W takim razie podstawiam za x 1,5 i po wyliczeniu wychodzi mi \(\frac{157}{128} \approx 1,2266\)

Czy to jest prawidłowy tok działania i wynik?

[panb]

Wygląda na OK. Weź sobie policz na kalkulatorze \(\sqrt{1,5}\quad\)

[sotamies]

No właśnie tak zrobiłem i wyszło identyko.
Dla sprawdzenia za x podstawiłem 20, ale wynik już nie był taki sam jak w kalkulatorze, więc coś poszło nie tak. Dlaczego?

[panb]

A co wstawiałeś za a? Jeśli jedynkę, to nic dziwnego, że wyszedł duży błąd.
Różnica między \(a\) i \(x\) powinna być mała. Im mniejsza tym mniejszy błąd = dokładniejszy wynik.
Gdybyś za a wziął np. 4, wynik byłby pewnie zdecydowanie lepszy.

[sotamies]

W takim razie rozumiem.
A gdybym chciał obliczyć przybliżoną wartość właśnie \(\sqrt{20}\), to za a musiałbym wstawić np. 17? 19?

[panb]

No, nie bardzo, bo \(\sqrt{17}\) ani \(\sqrt{19}\), to nie są fajne liczby.
Lepiej wziąć 16, albo np. 20,25 - zgadnij dlaczego (i którą z nich lepiej wybrać)?

[sotamies]

16 lub 25, dlatego, że łatwiej to spierwiastkować?

[panb]

Liczbę \(20,25\) też można łatwo spierwiastkować, a jest bardzo blisko 20, więc dostaniemy dużą dokładność.

[sotamies]

Dobra, teraz już rozumiem.
W takim razie mogę przejść dalej z zadaniami.
Mam nadzieję, że nie będę się już musiał odzywać.
Dziękuję bardzo za pomoc!!