Twierdzenie o trzech ciągach

[rogi]

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice.
a)\(\sqrt[n]{(1/2)+(2/3)+(3/4)+...+(n/n+1)}\)
b)\(\sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}\)
c)\(\sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} }\)
d)\(\frac{2n^2+sin n!}{4n^2-3cos (n)^2}\)
e)\(\sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}\)
f)\(\sqrt[n]{1+5n^2+3n^5}\)
g)\(\sqrt[n]{(1/n)+(2/n^2)+(3/n^3)+(4/n^4)}\)

[radagast]

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice.
a)\(\sqrt[n]{(1/2)+(2/3)+(3/4)+...+(n/n+1)}\)

\(\sqrt[n]{ \frac{1}{2} }<\sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + \frac{3}{4}+...+ \frac{n}{n+1} }<\sqrt[n]{ n }\)
zatem
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + \frac{3}{4}+...+ \frac{n}{n+1} }=1\)

[rogi]

A reszte przykladów jak należy rozpatrzeć?

[radagast]

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice.
b)\(\sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}\)

\(\sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}=5\sqrt[n]{1-( \frac{3}{5} )^n-( \frac{2}{5} )^n}\)
\(5\sqrt[n]{1-2( \frac{3}{5} )^n} \le 5\sqrt[n]{1-( \frac{3}{5} )^n-( \frac{2}{5} )^n} \le 5\sqrt[n]{1}\)
zatem
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}=5\)

[radagast]

c)\(\sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} }\)

\(\sqrt[n]{ \frac{(3^n)}{(5^n)+(5^n)} } \le \sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} } \le \sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(3^n)}{(5^n)} }\)
No to
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} }= \frac{3}{5}\)

[radagast]

d) spróbuj sam(a) , bo bardzo łatwe.

[radagast]

e)\(\sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}\)

\(\sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}=\sqrt[n+2]{ \frac{1}{9} \cdot 3^{n+2}+ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}}\)
\(4 \cdot \sqrt[n+2]{ \frac{1}{4} }=\sqrt[n+2]{ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}}\le \sqrt[n+2]{ \frac{1}{9} \cdot 3^{n+2}+ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}} \le \sqrt[n+2]{ \frac{1}{9} \cdot 4^{n+2}+ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}}= 4 \cdot \sqrt[n+2]{ \frac{1}{9}+ \frac{1}{4} }\)
No to \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}=4\)

[radagast]

Dwa ostatnie to ewidentna jedynka. Spróbuj oszacować sam(a) pamiętając o tym , że \(\sqrt[n]{n}\to1\) oraz \(\sqrt[n]{a}\to1\) .