Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice.
a)\(\sqrt[n]{(1/2)+(2/3)+(3/4)+...+(n/n+1)}\)
b)\(\sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}\)
c)\(\sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} }\)
d)\(\frac{2n^2+sin n!}{4n^2-3cos (n)^2}\)
e)\(\sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}\)
f)\(\sqrt[n]{1+5n^2+3n^5}\)
g)\(\sqrt[n]{(1/n)+(2/n^2)+(3/n^3)+(4/n^4)}\)
Twierdzenie o trzech ciągach
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Twierdzenie o trzech ciągach
\(\sqrt[n]{ \frac{1}{2} }<\sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + \frac{3}{4}+...+ \frac{n}{n+1} }<\sqrt[n]{ n }\)rogi pisze:Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice.
a)\(\sqrt[n]{(1/2)+(2/3)+(3/4)+...+(n/n+1)}\)
zatem
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3} + \frac{3}{4}+...+ \frac{n}{n+1} }=1\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Twierdzenie o trzech ciągach
\(\sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}=5\sqrt[n]{1-( \frac{3}{5} )^n-( \frac{2}{5} )^n}\)rogi pisze:Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice.
b)\(\sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}\)
\(5\sqrt[n]{1-2( \frac{3}{5} )^n} \le 5\sqrt[n]{1-( \frac{3}{5} )^n-( \frac{2}{5} )^n} \le 5\sqrt[n]{1}\)
zatem
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{(5^n)-(3^n)-(2^n)}=5\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Twierdzenie o trzech ciągach
\(\sqrt[n]{ \frac{(3^n)}{(5^n)+(5^n)} } \le \sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} } \le \sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(3^n)}{(5^n)} }\)rogi pisze: c)\(\sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} }\)
No to
\(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ \frac{(3^n)+(2^n)}{(5^n)+(4^n)} }= \frac{3}{5}\)
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Twierdzenie o trzech ciągach
\(\sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}=\sqrt[n+2]{ \frac{1}{9} \cdot 3^{n+2}+ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}}\)rogi pisze: e)\(\sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}\)
\(4 \cdot \sqrt[n+2]{ \frac{1}{4} }=\sqrt[n+2]{ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}}\le \sqrt[n+2]{ \frac{1}{9} \cdot 3^{n+2}+ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}} \le \sqrt[n+2]{ \frac{1}{9} \cdot 4^{n+2}+ \frac{1}{4} \cdot 4^{n+2}}= 4 \cdot \sqrt[n+2]{ \frac{1}{9}+ \frac{1}{4} }\)
No to \(\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n+2]{3^{n}+4^{n+1}}=4\)