Znajdź przedziały wypukłości oraz punkt przegięcia funkcji.

[dytr]

\(f(x)=x^2lnx\)

Liczę najpierw pochodną drugiego rzędu, więc:
\(f'(x)=(x^2lnx)'=2x \cdot lnx+x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2xlnx + x\)

\(f''(x)=(2xlnx+x)'=(2xlnx)' + x' = 2(lnx+1)+1 = 2lnx+3\)

Korzystam z założenia: \(f''(x)=0 \iff 2lnx+3\)

Dziedzina: \((0, \infty )\)

Przyrównuję funkcję do zera i rozwiązuję:

\(2lnx+3=0\)
\(2lnx=-3 /:2\)
\(lnx = - \frac{3}{2}\)

\(- \frac{3}{2} = ln(e^{ \frac{-3}{2} }) = ln( \frac{1}{e^{ \frac{5}{2}} })\)

Czyli z powyższego wychodzi mi, że:

\(x=1/e^{ \frac{5}{2}}\)

Jak to dalej rozwiązać?

[Galen]

Przyrównujesz drugą pochodną do zera
\(f"=0\;\;\;\; \iff \;\;\;\;2lnx+3=0\\x=e^{- \frac{3}{2} }\)
f"(x)<0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;2lnx-3<0\\2lnx<-3\\lnx<- \frac{3}{2}\\lnx<lne^{- \frac{3}{2} }\\x<e^{- \frac{3}{2} }[/tex]
Dla \(x\in (0;e^{- \frac{3}{2} })\) funkcja ma wypukłość (brzuszkiem) ku górze.
Analogicznie
\(f"(x)>0\;\;\;\;\;dla\;\;\;\;\;x\in (e^{- \frac{3}{2} };+ \infty )\)
Funkcja ma wypukłość (brzuszkiem) ku dołowi.
Punkt przegięcia:
\(( e^{\frac{-3}{2}};f(e^{- \frac{3}{2} })=(e^{ \frac{-3}{2} }; \frac{-3}{2e^3})\)
\(f(e^{- \frac{3}{2} }=(e^{- \frac{3}{2} } )^2 \cdot ln e^{- \frac{3}{2} }=e^{-3} \cdot (- \frac{3}{2})= \frac{-3}{2e^3}\)