Całki nieoznaczone

[mauta]

Nie wiem jak się zabrać za liczenie tych całek:
1. \(\int{(2x+3)arccos(2x-3)}\)
2. \(\int{x(1+x^2)arctg(x)}\)
3. \(\int{\frac{arcsin e^x}{e^x}}\)
4. \(\int{ln(x+\sqrt{x^2 +1})}\)
Jakieś rady?

[korki_fizyka]

1. i 2 wykonaj działania a potem przez części
3. przez części
4. chyba trzeba rozwijać w szereg ale nie jestem pewny

[Młodociany całkowicz]

Ze świata post-rockowych rytmów nadchodzi rozwiązanie logarytmów!

\(\int ln(x+ \sqrt{x^2+1} )dx = \int x' ln(x+ \sqrt{x^2+1} )dx = x ln(x+ \sqrt{x^2+1}) - \int \frac{x(1+\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}})}{x+\sqrt{x^2+1}}dx =\\= x ln(x+ \sqrt{x^2+1}) - \int \frac{x}{x+\sqrt{x^2+1}}dx - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x\sqrt{x^2+1}+x^2+1}dx=\\=x ln(x+ \sqrt{x^2+1}) - \int x^2dx + \int x\sqrt{x^2+1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{x^3\sqrt{x^2+1}- x^4 - x^2}{x^2+1}dx=\\=x ln(x+ \sqrt{x^2+1}) - \frac{3}{2}\int x^2dx + \int x\sqrt{x^2+1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}dx - \frac{1}{2}\int dx = \\ \begin{bmatrix} t=x^2+1\\dx = \frac{dt}{2x}\end{bmatrix} = x ln(x+ \sqrt{x^2+1}) - \frac{x^3+x}{2} + \frac{1}{2}\int \sqrt{t} dt + \frac{1}{4}\int \frac{t-1}{\sqrt{t}}dt =\\ = x ln(x+ \sqrt{x^2+1}) - \frac{x^3+x - \sqrt{(x^2+1)^3}+\sqrt{x^2+1}}{2} +C\)