Zbiór punktów, w których funkcja jest ciągła

[krystian9128]

Witam. Proszę o pomoc w znalezieniu zbioru punktów, w których funkcja jest ciągła.

1.
\(f(x)= \begin{cases}1&\text{ dla } x \in Q\\ 0&\text{ dla } x \in R \bez Q \end{cases}\)

[krystian9128]

2. \(f(x)= \begin{cases}x&\ x \in Q\\ 0&\ x \in R \bez Q \end{cases}\)

[krystian9128]

3.\(f(x)= \begin{cases}2x&\ x \in Z\\ x^2&\ x \in R \bez Z \end{cases}\)

[kerajs]

1)
Funkcja Dirichleta jest wszędzie nieciągła
2)
Ta jest ciągła tylko w jednym punkcie x=0
3)
ciągła w każdej liczbie niecałkowitej oraz dwóch całkowitych: 0 i 2

[krystian9128]

Mógłbyś jeszcze napisać jakieś uzasadnienie, wytłumaczyć, skąd się to wzięło?

[radagast]

1)

Dla każdej liczby wymiernej \(q\) można znaleźć ciąg liczb niewymiernych \(x_n\) zbiegający do \(q\) ( czyli liczby wymierne można przybliżać liczbami niewymiernymi, co jest niepraktyczne , więc się tego raczej nie robi) i na odwrót:
dla każdej liczby niewymiernej \(x\) można znaleźć ciąg liczb wymiernych \(q_n\) zbiegający do \(x\) ( czyli liczby niewymierne można przybliżać wymiernymi, co wie już gimnazjalista) .

Tymczasem
\(f(q_n) \to 1\) ale \(f(x)=0\) zatem \(f\) nie jest ciągła w żadnej niewymiernej,
oraz
\(f(x_n) \to 0\) ale \(f(q)=1\) zatem \(f\) nie jest ciągła w żadnej wymiernej

2),3) sam (jako test na zrozumienie tego co powyżej )

[VladP]

Zasadę już masz wytłumaczoną, a jak chcesz to zobaczyć, to najlepiej narysuj sobie jak przebiegają względem siebie wykresy dla wymiernych i niewymiernych argumentów funkcji.