Asymptoty, logarytm naturalny

[MartyQQ]

Wyznaczyc asymptoty

f(x)=\(x^2ln(1-\frac{1}{x})\)

[araz10]

1) Dziedzina, czyli logarytm naturalny zawsze większy od zera 1-1/x > 0
2) Asymptoty pionowe - granice na krańcach przedziałów dziedziny, ale nie mogą to być nieskończoności. Natomiast jeśli wynik granic wyjdzie nieskończoność to wtedy mamy asymptotę pionową.
3) Asymptoty poziome - są dwa wzory na współczynniki "a" i "b" , które obliczamy i wstawiamy do równania prostej y=ax+b

[MartyQQ]

Tyle to ja wiem, bardziej chodzilo mi o policzenie konkretnych granic

[radagast]

Napisz, z którą sobie nie radzisz. Podpowiemy (one są bardzo łatwiutkie)

[MartyQQ]

Obliczylem wspolczynnik a, asympoty ukosnej,

nie wiem czy dobrze:

\(\Lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}=\frac{x^2ln(1-\frac{1}{x})}{x}\) = \(\Lim_{x\to \infty}xln(1-\frac{1}{x} )\)=
\(ln(\Lim_{x\to \infty} ( 1-\frac{1}{x})^x)=ln(e^{-1})\)=-1

Mam problem z granicami w 0 oraz z wyliczeniem b

[radagast]

Czy możemy korzystać z reguły de l' Hospitala ?

[MartyQQ]

Wlasnie najlepiej byłoby wlasnie bez de l' Hospitala :/ na kolokwium odejmuje za to 2punkty bo jeszcze tego nie przerabialismy :/ ale lepiej dostac -2 pkt niz nie zrobic zadania i dostac 0

[radagast]

Wycofuję się ze stwierdzenia , że ona jest łatwiutka, ona jest trudna. Ta ukośna asymptota to \(to y=-x- \frac{1}{2}\), a pionowa prawostronna x=1, ale bez reguły nie umiem, a i z regułą łatwo nie jest . Potem pomyślę.

[MartyQQ]

To jesli mozesz to podeslij z regula

[radagast]

Na razie masz z regułą:
\(\Lim_{x\to \pm \infty } f(x)-ax=\Lim_{x\to \pm \infty } x^2\ln(1- \frac{1}{x})+x =\Lim_{x\to \pm \infty } x^2 \left[\ln(1- \frac{1}{x})+ \frac{1}{x} \right] =\Lim_{x\to \pm \infty } \frac{\ln(1- \frac{1}{x})+ \frac{1}{x} }{ \frac{1}{x^2} } =\Lim_{t\to 0 } \frac{\ln(1-t)+t }{t^2 } =^H\\\Lim_{t\to 0 } \frac{ -\frac{1}{1-t} +1 }{2t } =\Lim_{t\to 0 } \frac{-1+1-t }{2t(1-t) }=- \frac{1}{2}\)