Wyznaczenie asymptot funkcji, liczba e

[MartyQQ]

Wyznacz asymptoty funkcji:

f(x)=x*\(e^{1/x}\)

Mam problem z wyznaczeniem granic w 0 i nieskonczonosci, mam rozwiazac najlepiej bez uzycia de l'hospitala

[radagast]

\(\Lim_{x\to 0^-}x e^ \frac{1}{x}=0 \cdot e^{- \infty }=0 \cdot 0=0\)
\(\Lim_{x\to 0^+}x e^ \frac{1}{x}=\Lim_{t\to \infty } \frac{e^t}{t} = \infty\) \(\ \ \ \ \ \left( e^t>t^2 \right)\)
\(\Lim_{x\to \pm \infty } \frac{x e^ \frac{1}{x}}{x} =\Lim_{x\to \pm \infty }e^ \frac{1}{x}=e^0=1\)
jest jeszcze jedna granica do policzenia. Wiesz jaka ?

[MartyQQ]

Dzięki wielkie
Masz na mysli wyznaczenie b, aby uzyskac rowanie asymptoty ukosnej?

[radagast]

Właśnie. Masz w nagrodę, że wiedziałaś/eś
\(\Lim_{x\to \pm \infty }x e^ \frac{1}{x}-x=\Lim_{x\to \pm \infty }x (e^ \frac{1}{x}-1)=\Lim_{x\to \pm \infty } \frac{e^ \frac{1}{x}-1}{ \frac{1}{x} }=\Lim_{t\to 0} \frac{e^ t-1}{ t}=1\)

[MartyQQ]

Korzystałes z własnosci, ze \(\Lim_{x\to 0} f(x)=\frac{a^x-1}{x}= \ln a\) tak?