wyznacz dziedzinę funkcji

[kacperus98]

\(y= \sqrt{1-ln \frac{x}{x-1} }\)

zrobiłem tyle:
\(\frac{x}{x-1} > 0 / *(x-1)^2\)
\(x(x-1) > 0\)
\(x \in (- \infty ;0) \cup (1;+ \infty )\)


\(1-ln \frac{x}{x-1} \ge 0\)
\(ln \frac{x}{x-1} \le ln e\)
\(\frac{x}{x-1} \le e\)

jeśli do tej pory jest dobrze, to nie wiem co dalej zrobić z tym e.

[eresh]

\(y= \sqrt{1-ln \frac{x}{x-1} }\)

zrobiłem tyle:
\(\frac{x}{x-1} > 0 / *(x-1)^2\)
\(x(x-1) > 0\)
\(x \in (- \infty ;0) \cup (1;+ \infty )\)


\(1-ln \frac{x}{x-1} \ge 0\)
\(ln \frac{x}{x-1} \le ln e\)
\(\frac{x}{x-1} \le e\)

jeśli do tej pory jest dobrze, to nie wiem co dalej zrobić z tym e.

jest dobrze

\(\frac{x}{x-1}\leq e\\
x(x-1)\leq e(x-1)^2\\
x(x-1)-e(x-1)^2\leq 0\\
(x-1)(x-e(x-1))\leq 0\\
(x-1)(x(1-e)+e)\leq 0\\
x\in (-\infty, 1]\cup[\frac{e}{e-1},\infty)\)
teraz wystarczy wziąć część wspólną

[kacperus98]

a czy tutaj nie ma błędu? :
\(x(x-1) \le e(x-1)\)
bo jeśli pomnożę przez \((x-1)\)
\(\frac{x}{x-1} \le e\)
to wyjdzie:
\(x \le e(x-1)\)
ale trzeba chyba to pomnożyć przez \((x-1)^2\)
więc wychodzi:
\(x(x-1) \le e(x-1)^2\)

zapewne to ja czegoś nie rozumiem, tak mnie zawsze uczono, bardzo proszę o pomoc.

[eresh]

a czy tutaj nie ma błędu? :
\(x(x-1) \le e(x-1)\)
bo jeśli pomnożę przez \((x-1)\)
\(\frac{x}{x-1} \le e\)
to wyjdzie:
\(x \le e(x-1)\)
ale trzeba chyba to pomnożyć przez \((x-1)^2\)
więc wychodzi:
\(x(x-1) \le e(x-1)^2\)


zapewne to ja czegoś nie rozumiem, tak mnie zawsze uczono, bardzo proszę o pomoc.

masz rację, już poprawiam

[kacperus98]

dla pewności jeszcze spytam czy wynik to część wspólna czyli \(D: x \in (1; \frac{e}{e-1}>\)

[eresh]

dla pewności jeszcze spytam czy wynik to część wspólna czyli \(D: x \in (1; \frac{e}{e-1}>\)

nie, jeszcze raz rzuć okiem na moje poprawione rozwiązanie

[kacperus98]

kurcze teraz już nie rozumiem dlaczego tam wyszedł taki przedział, ja to próbowałem zrobić tak:
\(x-1=0\)
\(x=1\)
\(x-xe+e=0\)
\(x-xe=-e\)
\(x(1-e)=-e\)
\(x= \frac{-e}{1-e}\)
\(x= \frac{e}{e-1} \approx 1,58\)
teraz ramiona paraboli do góry, i zaznaczam miejsca zerowe
więc przedział z tego wychodził mi \(<1; \frac{e}{e-1}>\)
a z definicji logarytmów wyszło mi że \(x \in (- \infty ;0) \cup (1;+ \infty )\)
i część wspólna to\(x \in (1; \frac{e}{e-1} >\)

co tutaj robię źle??

[eresh]

teraz ramiona paraboli do góry, i zaznaczam miejsca zerowe

parabola ma ramiona w dół

[kacperus98]

to dlatego że po przemnożeniu nawiasów wychodzi \(x^2-x^2e+.... a -x^2e\) jest większa od \(x^2\),tak to rozumiem żyłbym z takim głupim błędem gdyby nie ty