Zadanie - twierdzenie o trzech ciągach

[Wrobello]

Witam, mam problem z tym zadaniem.
Stosując twierdzenie o trzech ciągach wyznacz granicę ciągu liczbowego:

\(\Lim_{n\to \infty }(\frac{1}{1 + \sqrt{5n^2} } + \frac{1}{2 + \sqrt{5n^2} } + ... + \frac{1}{n + \sqrt{5n^2} })\)

Granica ciągu ograniczającego z dołu \(\Lim_{n\to \infty }\frac{1}{1 + \sqrt{5n^2} }\) = 0.


Czy z góry ciąg będzie ograniczony takim ciągiem? :
\(\Lim_{n\to \infty }(\frac{1}{1 + \sqrt{5n^2}} + \frac{1}{1 + \sqrt{5n^2}} + ... + \frac{1}{1 + \sqrt{5n^2} })\)

Jeśli tak to jak obliczyć to liczyć? Mi po obliczeniu granicy tego ciągu wyszło \(\frac{1}{ \sqrt{5} }\)
bo zrobiłem \(n * \frac{1}{1 + \sqrt{5n^2} }\)(bo tych wyrazów mamy n) i z tego liczyłem granicę, ale coś chyba pokręciłem bo granice z góry i z dołu są różne.

Proszę o pomoc jak rozwiązywać zadania tego typu i ew. o wynik tego przykładu.

[radagast]

Zauważ ,że \(\frac{1}{1 + \sqrt{5n^2} } + \frac{1}{2 + \sqrt{5n^2} } + ... + \frac{1}{n + \sqrt{5n^2} } \ge \frac{1}{n + \sqrt{5n^2} } + \frac{1}{n + \sqrt{5n^2} } + ... + \frac{1}{n + \sqrt{5n^2} } =\frac{n}{n +n \sqrt{5} }=\frac{1}{1 + \sqrt{5} }\)


Więc jeśli granica istnieje, to jest nie mniejsza niż \(\frac{1}{1 + \sqrt{5} }\)
Z Twoich zaś rozważań wynika, że jest nie większa niż \(\frac{1}{\sqrt{5} }\)
No to mamy już \(\frac{1}{1 + \sqrt{5} } \le g \le \frac{1}{\sqrt{5} }\)