Całeczka

[malwinka1058]

\(\int \frac {x e^{arctgx}} {(1+x^{2})^{3/2} } dx\)

[panb]

Podstawienie \(\begin{vmatrix}t=\arctg x \So dt= \frac{dx}{1+x^2}\\x=\tg t \wedge \sqrt{1+x^2}= \frac{1}{\cos t} \end{vmatrix}\) prowadzi do następującej całki \(\int \frac{xe^{\arctg x}}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}=\int \sin te^t dt\)

Tę całkę liczymy przez części - dwukrotnie.
\(\int e^t \sin t dt= \begin{vmatrix}u=\sin t&du=\cos t dt\\dv=e^tdt&v=e^t \end{vmatrix}=e^t\sin t-\int e^t\cos tdt= \begin{vmatrix} u=\cos t&du=-\sin tdt\\dv=e^tdt&v=e^t\end{vmatrix} =\\
=e^t\sin t- \left(e^t\cos t+\int e^t\sin t dt \right)=e^t\sin t-e^t\cos t-\int s^t\sin t dt\)
Innymi słowy \(2\int e^t\sin t dt=e^t\sin t-e^t\cos t\), Stąd \[\int e^t\sin tdt= \frac{1}{2}e^t \left( \sin t - \cos t\right)+C\] Z podstawienia, mamy \(\cos t= \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} },\,\,\, \sin t=\tg t \cdot \cos t= \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} },\,\,\, e^t=e^{\arctg x}\), wiec

Odp.: \[\int \frac{xe^{\arctg x}}{(1+x^2)^{ \frac{3}{2} }}dx= \frac{1}{2}e^{\arctg x} \frac{x-1}{\sqrt{1+x^2}}+C\]

[malwinka1058]

Dziękuję bardzo, zabrakło mi właśnie tego \(\cos t\) i nie wiedziałam, co zrobić z tym pierwiastkiem

[Robakks]

Te podstawienie jest zbedne wystarczy od razu przez czesci