Całka krzywoliniowa

[dobrzyc]

OBLICZYC CALKE \(\int_{}^{} x^2 dx + xy dy\) PO KRZYWEJ ZAMKNIETEJ ZLOZONEJ Z LUKOW \(y=x^2\) I \(x+y=2\)

Czy dobrze mysle:
\(\int_{}^{} \int_{}^{} y dxdy= \int_{ \frac{1}{2} }^{-1}[ \int_{2-x}^{x^2} y dy]dx\)
???

[panb]

To wygląda na całkę skierowaną, czy tak?

[dobrzyc]

zle okreslilam obszar D?

[panb]

Nie, ale myli ci sie całka podwójna (po obszarze) z całką krzywoliniową (po łuku).

[dobrzyc]

Dlaczego? Co jest zle?

[panb]

Całkiem inaczej się to robi, no co ty?!
Po pierwsze,\(x+y=2 i y=x^2\) przecinają się w punktach (-2,4) i (1,1).
Krzywa zamknięta, o której mowa w zadaniu, składa się z dwóch łuków:

1. łuku paraboli \(y=x^2 ,\,\,\, -2\le x \le 1\)
2. odcinka prostej \(y=2-x, \,\,\, -2\le x \le 1\)

.

Dobrze by było wiedzieć, jak skierowana jest ta całka?
Coś ci te moje zapiski mówią?

[panb]

Jeśli chciałbyś skorzystać z wzoru Greena, to rzeczywiście jest tam mowa o obszarze, ale funkcja podcałkowa jest inna. \[\int_K Pdx+Qdy=\iint_D \left( \frac{ \partial Q}{ \partial x} - \frac{ \partial P}{ \partial y} \right)dxdy\] U cb, to byłoby tak \(D= \left\{(x,y): -2\le x \le 1, \,\,\, x^2\le y \le 2-x \right\}\)

\(\int_K(x^2dx+xydy)= \int_{-2}^{1} \int_{x^2}^{2-x} ydxdy\)

Teraz ci pasuje?

[dobrzyc]

tak dziekuje

[panb]

To może jakieś oficjalne podziękowanie?