Objętość bryły

bumbek · Post autor: **bumbek** » 20 cze 2017, 16:18

Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
\(x^{2}+y^{2}=9\)
z=1
\(x^{2}+y^{2}=z-2\)

Narysowałem obszar i policzyłem to całką potrójną, wyszło mi \(24\pi\), ale cały czas nie wiem, czy dobrze. Najpierw obliczyłem całkę po z normalnie, a potem jak już zostały tylko dwie, przeszedłem na współrzędne biegunowe. Czy ktoś może zweryfikować mój pomysł?

panb · Post autor: **panb** » 20 cze 2017, 17:29

Mi wychodzi coś takiego:
\(|V|=\int_{-3}^{3}dx \int_{-3}^{3}dy \int_{1}^{x^2+y^2+2} dz\) i ...nie wychodzi \(24\pi\).

Co ty na to?

bumbek · Post autor: **bumbek** » 20 cze 2017, 17:34

No i czy nie można obliczyć najpierw całki po dz, a potem, korzystając z tego, że rzut tej objętości jest okręgiem, przejść z x i y na współrzędne biegunowe?

panb · Post autor: **panb** » 20 cze 2017, 17:56

Chyba nie, bo wtedy \(z=r^2+2\), a nie \(z=x^2+y^2+2\).
Nie można zmieniać układu współrzędnych podczas całkowania.

panb · Post autor: **panb** » 20 cze 2017, 18:07

Może to rzeczywiście nie tak jak napisałem, ale OD razu trzeba biegunowe wprowadzić i nie zapomnieć o Jakobianie.
Wychodzi, że powinno być: \(\int_{-3}^{3}dx \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} dy \int_{1}^{x^2+y^2+2}dz\)

Tego już bez zmiany układu nie da rady.

panb · Post autor: **panb** » 20 cze 2017, 18:11

Wyszła mi całka taka \(\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{3}rdr \int_{1}^{r^2+2}dz\).
Też tak masz?

bumbek · Post autor: **bumbek** » 20 cze 2017, 18:20

Tzn. ja się mimo wszystko nadal upieram, że da się przy obliczaniu całki potrójnej przejść na współrzędne biegunowe w trakcie jej liczenia, bo zrobiłem tak w jednym z przykładów w Krysickim, po scałkowaniu po dz i wynik wyszedł prawidłowy. Bo w sumie czemu nie - otrzymujemy zwykłą całkę podwójną z którą możemy zrobić co chcemy.

Ale i tak o jakobianie zapomniałem, tradycyjnie