Funkcja różniczkowalna spełniająca warunki

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
karolakkkk
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 129
Rejestracja: 23 lis 2014, 16:48
Podziękowania: 86 razy

Funkcja różniczkowalna spełniająca warunki

Post autor: karolakkkk »

Czy istnieje funkcja różniczkowalna \(f: \rr \to \rr\) taka, że \(f(1)=f(-1)=1\), \(f(0)=0\), \(|f'(x)|\le 1\)?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

O ile twierdzenie Lagrange'a jest prawdziwe , to nie istnieje.
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Post autor: kerajs »

Inaczej:
Pochodna w punkcie to jednocześnie współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji w tym punkcie.
Załóżmy że w przedziale \(\left(-1,0 \right)\) funkcja maleje od (-1,1) do (0,0). Skoro współczynnik kierunkowy stycznej nie może być mniejszy od -1 to jedyną możliwą funkcją na tym przedziale jest \(y=-x\). Z analogicznych powodów na przedziale \(\left(0,1 \right)\) jedyną możliwą funkcją jest \(y=x\). O ile tak zadana funkcja jest ciągła w x=0, to nie jest tam różniczkowalna. Wniosek: szukana funkcja nie istnieje.
ODPOWIEDZ