Objętość bryły ograniczonej powierzchniami

[jkmfan]

Witam, mam do obliczenia objętości kilku brył ograniczonych powierzchniami. Proszę o sprawdzenie, czy wyznaczyłem obszary całkowania oraz funkcje podcałkową.

a) \(z = \sqrt{25-(x^2+y^2)}, z = x^2 + y^2 -13\)
Z góry ograniczała będzie powierzchnia półsfery \(z = \sqrt{25-(x^2+y^2)}\), a z dołu parabolida
\(z = x^2 + y^2 -13\).
Obszarem całkowania będzie rzut półsfery na os XY, a więc okrąg o promieniu 5.
Funkcja podcałkowa : \(\sqrt{25-(x^2+y^2)} - x^2 - y^2 +13\), natomiast obszar całkowania we współrzędnych biegunowych: \(0 \le r \le 5, 0 \le \alpha \le 2 \pi\).

b) \(x^2 + y^2 + z^2 =4, z=1\)
Tutaj z góry ogranicza półsfera \(z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\), a z dołu \(z =1\). Obszar całkowania to okrąg o promienu 2.


Czy dobrze myślę? Nie jestem pewien czy dobrze wyznaczyłem obszary całkowania.
Z góry dziękuję za odpowiedź
Pozdrawiam

[kerajs]

a) \(z = \sqrt{25-(x^2+y^2)}, z = x^2 + y^2 -13\)
Z góry ograniczała będzie powierzchnia półsfery \(z = \sqrt{25-(x^2+y^2)}\), a z dołu parabolida
\(z = x^2 + y^2 -13\).
Obszarem całkowania będzie rzut półsfery na os XY, a więc okrąg o promieniu 5.
Funkcja podcałkowa : \(\sqrt{25-(x^2+y^2)} - x^2 - y^2 +13\), natomiast obszar całkowania we współrzędnych biegunowych: \(0 \le r \le 5, 0 \le \alpha \le 2 \pi\).

Niestety nie.
Obszarem całkowania będzie rzut przecięcia półsfery z paraboloidą na os XY .
\(z= \sqrt{25-(z+13)} \wedge z \ge 0\\
z^2=12-z\\
(z+4)(z-3)=0\\
z=3\)
a więc okrąg o promieniu 4

b) \(x^2 + y^2 + z^2 =4, z=1\)
Tutaj z góry ogranicza półsfera \(z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}\), a z dołu \(z =1\). Obszar całkowania to okrąg o promienu 2.

Równie dobrze można wybrać pozostałą część kuli, ale Twoja objętość jest łatwiejsza.
Obszar całkowania to okrąg o promieniu \(\sqrt{3}\)

[Klaudia14067]

dlaczego pod pierwiastkiem jest 25 -(z+13) ?

[janusz55]

Z równania paraboloidy

\( x^2 +y^2 = z +13 \)

podstawione do równania półsfery.