Równanie różniczkowe

[franco11]

Rozwiąż równanie: \(y''-2y'=e^{2x}\)
Rozwiązujemy równanie charakterystyczne
\(r^2-2r=0\)
\(r_1=0 \ \ r_2=2\)
Rozwiązanie ogólne \(y_o=C_1+C_2e^{2x}\)
Ponieważ liczba dwa jest pojedynczym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego więc przewidujemy
całkę szczególną postaci
\(y_s=Axe^{2x}\)
\(y_s'=Ae^{2x}+2Axe^{2x}=A(1+2x)e^{2x}\)
\(y_s''=2Ae^{2x}+2A(1+2x)e^{2x}=2A(2+2x)e^{2x}\)
\(2A(2+2x)e^{2x}-2A(1+2x)e^{2x}=e^{2x}\)
\(A= \frac{1}{2}\) Równanie ma rozwiązanie \(y=y_o+y_s\)
\(y=C_1+C_2e^{2x}+ \frac{1}{2}xe^{2x}\)

proszę o sprawdzenie

[eresh]

Rozwiąż równanie: \(y''-2y'=e^{2x}\)
Rozwiązujemy równanie charakterystyczne
\(r^2-2r=0\)
\(r_1=0 \ \ r_2=2\)
Rozwiązanie ogólne \(y_o=C_1+C_2e^{2x}\)
Ponieważ liczba dwa jest pojedynczym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego więc przewidujemy
całkę szczególną postaci
\(y_s=Axe^{2x}\)
\(y_s'=Ae^{2x}+2Axe^{2x}=A(1+2x)e^{2x}\)
\(y_s''=2Ae^{2x}+2A(1+2x)e^{2x}=2A(2+2x)e^{2x}\)
\(2A(2+2x)e^{2x}-2A(1+2x)e^{2x}=e^{2x}\)
\(A= \frac{1}{2}\) Równanie ma rozwiązanie \(y=y_o+y_s\)
\(y=C_1+C_2e^{2x}+ \frac{1}{2}xe^{2x}\)

proszę o sprawdzenie

jak dla mnie - okej