Zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
karolakkkk
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 129
Rejestracja: 23 lis 2014, 16:48
Podziękowania: 86 razy

Zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie

Post autor: karolakkkk »

Znajdź wszystkie liczby naturalne \(k\) takie, że ciąg \(a_n\) zadany wzorem rekurencyjnym: \(a_1=k\), \(a_{n+1}=a_n^{2}-k\) jest zbieżny.
Ostatnio zmieniony 17 cze 2017, 23:12 przez karolakkkk, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Jeśli ten ciąg jest zbieżny do granicy g, to musi ona być rozwiązaniem równania
\(g=g^2-k \iff g^2-g-k=0\). To równanie ma rozwiązanie, gdy \(\Delta\ge0 \iff 1+4k\ge0 \iff k\ge- \frac{1}{4}\)
... i to jest ten szukany warunek.
karolakkkk
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 129
Rejestracja: 23 lis 2014, 16:48
Podziękowania: 86 razy

Post autor: karolakkkk »

No tak, ale \(k\) musi być liczbą naturalną, Twoje rozwiązanie wskazuję na to, że to zachodzi dla wszystkich \(k\) naturalnych, co nie jest prawdą.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Nie jest prawdą, bo....? :) Trzeba zbadać kiedy ten ciąg jest ograniczony i monotoniczny.
karolakkkk
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 129
Rejestracja: 23 lis 2014, 16:48
Podziękowania: 86 razy

Post autor: karolakkkk »

Dzięki wielkie za pomoc, już czaje :)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

Dla k>2 jest to ciąg rosnący ale nieograniczony - nie ma granicy
Dla k=1 jest to ciąg naprzemienny, więc też nie jest zbieżny.
Zbieżność jest możliwa tylko dla k=2.
Ciąg jest wtedy stały \(a_n=2\).
ODPOWIEDZ