optymalizacja przeciwprost. trójkąta opisanego na okręgu

[poetaopole]

Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego opisanego na okręgu o promieniu \(r\) tak, aby długość jego przeciwprostokątnej była najmniejsza.

[eresh]

\(r=\frac{a+b-c}{2}\\
2r=a+b-c\\
b=2r+c-a\)

\(a^2+b^2=c^2\\
a^2+4r^2+c^2+a^2+4rc-4ra-2ca=c^2\\
2a^2+4r^2+4rc-4ra-2ca=0\\
a^2+2r^2+2rc-2ra-ca=0\\
c(2r-a)=2ra-a^2-2r^2\\
c(a)=\frac{2ra-a^2-2r^2}{2r-a}\)
znajdź wartość najmniejszą funcji \(c(a)\)

[poetaopole]

A to niezła pochodna z tego wyjdzie Biorę się do roboty! Dziękuję

[eresh]

A to niezła pochodna z tego wyjdzie Biorę się do roboty! Dziękuję

całkiem przyjemna

[poetaopole]

Eresh, ale jak ustalić tu dziedzinę? Wyszło mi na razie \(a=(2+ \sqrt{2})r\). Też masz coś podobnego?

[eresh]

Eresh, ale jak ustalić tu dziedzinę? Wyszło mi na razie \(a=(2+ \sqrt{2})r\). Też masz coś podobnego?

tak mi wyszło


\(a>r\\
b>r\)


wychodzi na to że to trójkąt równoramienny
\(a=b=(2+\sqrt{2})r\\
c=(2+2\sqrt{2})r\)

[poetaopole]

a nie przypadkiem większe od podwojonego r? Tylko pytam

[poetaopole]

Tak sobie myślę, że gdyby np. a i b było równe półtorej r, to nie dalibyśmy rady zbudować trójkąta? Mam rację?

[eresh]

Tak sobie myślę, że gdyby np. a i b było równe półtorej r, to nie dalibyśmy rady zbudować trójkąta? Mam rację?

dobra, masz rację


\(c=\frac{2ra-a^2-2r^2}{2r-a}>0\\
(-a^2+2ra-2r^2)(2r-a)>0\\
2r-a<0\\
-a<-2r\\
a>2r\)

[poetaopole]

dzięki, dzięki, dzięki :p

[octahedron]

Niech jeden kąt ostry ma miarę \(2\alpha\), wtedy:

\(c=r\ctg\alpha+r\ctg(45^o-\alpha)=r\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos(45^o-\alpha)}{\sin(45^o-\alpha)}\right)=r\cdot\frac{\sin(45^o-\alpha)\cos\alpha+\sin\alpha\cos(45^o-\alpha)}{\sin\alpha\sin(45^o-\alpha)}=r\cdot\frac{2\sin 45^o}{\cos(2\alpha-45^o)-\cos 45^o}\)

A to osiąga minimum dla \(2\alpha=45^o\)