równanie różniczkowe liniowa

[polgyt]

witam, w załączniku jest zdjęcie, na czerwono zakreśliłem to czego nie rozumiem, nie wiem z czego to się wzięło, wytłumaczy ktoś?:)

[kerajs]

Wstawiono przewidywanie do równania niejednorodnego:
\(y'-3y=e^{-3x}\\
(-3ae^{-3x})-3(ae^{-3x})=e^{-3x}\\
-3ae^{-3x}-3ae^{-3x})=e^{-3x}\\
-6ae^{-3x}=e^{-3x}\\
-6a=1\\
a= \frac{-1}{6}\)

[polgyt]

super, dziękuję, a jeszcze pytanie odnośnie ostatniej linijki ze zdjęcia, co do czego zostało podstawione że taki wynik wyszedł?

[kerajs]

Rozwiązaniem jest suma rozwiązania równania jednorodnego (uproszczonego)(pkt. 1) i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego (pkt. 2).
Używając Twoich oznaczeń: CORN=CORJ+CSRN
całka ogólna równania niejednorodnego=całka ogólna równania jednorodnego+całka szczególna równania niejednorodnego
\(y=y_O+y_S\\
y=(C_1e^{3x})+( \frac{-1}{6}e^{-3x} )\\
y=C_1e^{3x}- \frac{1}{6}e^{-3x}\)