ekstrema lokalne

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mochel
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 405
Rejestracja: 12 paź 2014, 12:46
Podziękowania: 361 razy

ekstrema lokalne

Post autor: mochel »

Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:
\(a) f(x)=\frac{1}{4} x^4- \frac{1}{3} x^3-x^2\)
\(b)f(x)=x^2*e^{-x}\)
\(c)f(x)=2x^3-3x^2\)
\(d)f(x)= \frac{1-2x+x^2}{2x}\)
\(e)f(x)=x- \ln (1+x)\)
\(f)f(x)= \frac{x^2-2x+1}{x^2-4}\)
\(g)f(x)=(3x-5)e^{2x}\)
\(h)f(x)= \ln (1-x^2)\)
\(i)f(x)= \ln (x+1)+ \ln x\)
\(j)f(x)= \frac{e^x}{x}\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:
\(a) f(x)=\frac{1}{4} x^4- \frac{1}{3} x^3-x^2\)
\(f'(x)=x^3-x^2-2x\\
f'(x)=x(x^2-x-2)\\
f'(x)=x(x+1)(x-2)\\
f'(x)>0\iff x\in (-1,0)\cup (2,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\infty, -1)\cup (0,2)\\
f_{max}=f(0)\\
f_{min }=f(-1)\\
f_{min}=f(2)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(b)f(x)=x^2*e^{-x}\)
\(f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}\\
f'(x)=xe^{-2}(2-x)\\
f'(x)>0\iff x\in (0,2)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\infty, 0)\cup (2,\infty)\\
f_{max}=f(2)\\
f_{min }=f(0)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:
\(c)f(x)=2x^3-3x^2\)

\(f'(x)=6x^2-6x\\
f'(x)=6x(x-1)\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, 0)\cup (1,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (0,1)\\
f_{max}=f(0)\\
f_{min}=f(1)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(d)f(x)= \frac{1-2x+x^2}{2x}\)
\(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\\
f'(x)=\frac{(-2+2x)\cdot 2x-2(1-2x+x^2)}{4x^2}\\
f'(x)=\frac{-2x+2x^2-1+2x-x^2}{2x^2}\\
f'(x)=\frac{x^2-1}{2x^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, -1)\cup (1,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-1,0)\cup (0,1)\\
f_{max}=f(-1)\\
f_{min }=f(1)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(e)f(x)=x- \ln (1+x)\)

\(D=(-1,\infty)\)

\(f'(x)=1-\frac{1}{1+x}\\
f'(x)=\frac{1+x-1}{1+x}\\
f'(x)=\frac{x}{1+x}\\
f'(x)>0\iff x\in (0,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-1,0)\\
f_{min}=f(0)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(f)f(x)= \frac{x^2-2x+1}{x^2-4}\)
\(D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\\
f'(x)=\frac{(2x-2)(x^2-4)-2x(x^2-2x+1)}{(x^2-4)^2}\\
f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-4)-2x(x-1)^2}{(x^2-4)^2}\\
f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-4-x^2+x)}{(x^2-4)^2}\\
f'(x)=\frac{2(x-1)(x-4)}{(x^2-4)^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, -2)\cup (-2, 1)\cup (4,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (1,2)\cup (2,4)\\
f_{max}=f(1)\\
f_{min}=f(4)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(g)f(x)=(3x-5)e^{2x}\)

\(f'(x)=3e^{2x}+2e^{2x}(3x-5)\\
f'(x)=e^{2x}(3+6x-10)\\
f'(x)=e^{2x}(6x-7)\\
f'(x)>0\iff x>\frac{7}{6}\\
f'(x)<0\iff x<\frac{7}{6}\\
f_{min}=f(\frac{7}{6})\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:
\(h)f(x)= \ln (1-x^2)\)
\(D=(-1,1)\\
f'(x)=\frac{-2x}{1-x^2}\\
f'(x)>0\iff (-1,0)\\
f'(x)<0\iff x\in (0,1)\\
f_{min}=f(0)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(i)f(x)= \ln (x+1)+ \ln x\)
[/tex]
\(D=(0,\infty)\\
f'(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x}\\
f'(x)=\frac{x+x+1}{x(x+1)}\\
f'(x)=\frac{2x+1}{x(x+1)}\\
\forall x\in D\; f'(x)>0\)

brak ekstremów
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(j)f(x)= \frac{e^x}{x}\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\\
f'(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2}\\
f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}\\
f'(x)>0\iff x>1\\
f'(x)<0\iff x\in (-\infty, 0)\cup (0,1)\\
f_{min}=f(1)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
mochel
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 405
Rejestracja: 12 paź 2014, 12:46
Podziękowania: 361 razy

Re: ekstrema lokalne

Post autor: mochel »

eresh pisze:
mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(b)f(x)=x^2*e^{-x}\)
\(f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}\\\)
Dlaczego minus? a nie :
\(f'(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}\\\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: ekstrema lokalne

Post autor: eresh »

mochel pisze:
eresh pisze:
mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(b)f(x)=x^2*e^{-x}\)
\(f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}\\\)
Dlaczego minus? a nie :
\(f'(x)=2xe^{-x}+x^2e^{-x}\\\)

\(f'(x)=(x^2)'e^{-x}+x^2\cdot (e^{-x})'\\
(e^{-x})'=e^{-x}\cdot (-x)'=-e^{-x}\)

i dlatego minus ;)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
mochel
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 405
Rejestracja: 12 paź 2014, 12:46
Podziękowania: 361 razy

Re: ekstrema lokalne

Post autor: mochel »

eresh pisze:
mochel pisze:Wyznacz (jeżeli istnieją) ekstrema lokalne funkcji f:

\(g)f(x)=(3x-5)e^{2x}\)

\(f'(x)=3e^{2x}+2e^{2x}(3x-5)\\
f'(x)=e^{2x}(3+6x-10)\\
f'(x)=e^{2x}(6x-7)\\
f'(x)>0\iff x>\frac{7}{6}\\
f'(x)<0\iff x<\frac{7}{6}\\
f_{min}=f(\frac{7}{6})\)
\(f( \frac{7}{6} )=- \frac{7}{2 \sqrt[3]{e^7}}- \frac{5}{ \sqrt[3]{e^7} }...= \frac{3}{2}e^2* \sqrt[3]{e}\)
jak to doprowadzić do tej postaci?
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Post autor: eresh »

\(f(\frac{7}{6})=(3\cdot\frac{7}{6}-5)e^{\frac{7}{3}}=-\frac{3}{2}e^2\cdot e^{\frac{1}{3}}=-\frac{3}{2}e^2\sqrt[3]{e}\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ