monotoniczność

[mochel]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:
\(1) f(x)= \frac{x^4}{x^3-1}\)
\(2) f(x)=x*(x^2-1)\)
\(3) f(x)= \frac{x^2-x}{x^2+5x+6}\)
\(4) f(x)= \ln (4-x^2)\)
\(5) f(x)= x^4-2x^2+2\)
\(6) f(x)= \ln x- \ln (2-x)\)
\(7)f(x)=3xe^{2x-1}\)
\( f(x)=4x+ \frac{1}{x}\)

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:
\(1) f(x)= \frac{x^4}{x^3-1}\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
\(f'(x)=\frac{4x^3(x^3-1)-3x^2\cdot x^4}{(x^3-1)^2}\\
f'(x)=\frac{x^6-4x^3}{(x^3-1)^2}\\
f'(x)=\frac{x^3(x^3-4)}{(x^3-1)^2}\\
f'(x)>0\iff\;\;x\in (-\infty, 0)\cup (\sqrt[3]{4},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (0,\sqrt[3]{4})\setminus\{1\}\)

funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty, 0)\) oraz (\sqrt[3]{4},\infty)
funkcja jest malejąca w przedziałach \((0,1)\), \((1,\sqrt[3]{4})\)

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:

\(2) f(x)=x*(x^2-1)\)

\(f(x)=x^3-x\\
f'(x)=3x^2-1\\
f'(x)=3(x-\frac{\sqrt{3}}{3})(x+\frac{\sqrt{3}}{3})\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3})\cup (\frac{\sqrt{3}}{3},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)

funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3})\), \((\frac{\sqrt{3}}{3},\infty)\)
funkcja jest malejąca w przedziale \((-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\)

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:

\(3) f(x)= \frac{x^2-x}{x^2+5x+6}\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-2,-3\}\\
f'(x)=\frac{(2x-1)(x^2+5x+6)-(x^2-x)(2x+5)}{(x^2+5x+6)^2}\\
f'(x)=\frac{2x^3+10x^2+12x-x^2-5x-6-2x^3-5x^2+2x^2+5x}{(x^2+5x+6)^2}\\
f'(x)=\frac{6x^2+12x-6}{(x^2+5x+6)^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, -3)\cup (-3,-1-\sqrt{2})\cup (-1+\sqrt{2},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-1-\sqrt{2}, -2)\cup (-2,-1+\sqrt{2})\)

funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty, -3), (-3,-1-\sqrt{2}),(-1+\sqrt{2},\infty)\)
funkcja jest malejąca w przedziałach \((-1-\sqrt{2}, -2), (-2,-1+\sqrt{2})\)

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:

\(4) f(x)= \ln (4-x^2)\)

\(D=(-2,2)\)

\(f'(x)=\frac{-2x}{4-x^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (-2,0)\\
f'(x)<0\iff x\in (0,2)\)
funkcja jest rosnąca w \((-2,0)\), malejąca w \((0,2)\)

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:

\(5) f(x)= x^4-2x^2+2\)

\(f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)\\
f'(x)>0\iff x\in (-1,0)\cup (1,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\infty, -1)\cup (0,1)\)

funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-1,0), (1,\infty)\), malejąca w przedziałach \((-\infty, -1), (0,1)\)

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:

\(6) f(x)= \ln x- \ln (2-x)\)

\(D=(0,2)\\
f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{2-x}\\
f'(x)=\frac{2-x+x}{x(2-x)}\\
f'(x)=\frac{2}{x(2-x)}\\
f'(x)>0\iff x\in (0,2)\)
funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:

\(7)f(x)=3xe^{2x-1}\)

\(f'(x)=3e^{2x-1}+6xe^{2x-1}\\
f'(x)=3e^{2x-1}(1+2x)\\
f'(x)>0\iff x>-\frac{1}{2}\\
f'(x)<0\iff x<-\frac{1}{2}\)
funkcja jest rosnąca w przedziale \((-\frac{1}{2},\infty)\), malejąca w przedziale \((-\infty, -\frac{1}{2})\)

[eresh]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:

\( f(x)=4x+ \frac{1}{x}\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\\
f'(x)=4-\frac{1}{x^2}\\
f'(x)=\frac{4x^2-1}{x^2}\\
f'(x)=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x^2}\\
f'(x)>0 \\iff x\in (-\infty, -\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\frac{-1}{2},0)\cup (0,\frac{1}{2})\)

funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty, -\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},\infty)\)
funkcja jest malejąca w przedziałach \((-\frac{-1}{2},0), (0,\frac{1}{2})\)

[mochel]

Określ przedziały monotoniczności następujących funkcji:
\(1) f(x)= \frac{x^4}{x^3-1}\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
\(f'(x)=\frac{4x^3(x^3-1)-3x^2\cdot x^4}{(x^3-1)^2}\\
f'(x)=\frac{x^6-4x^3}{(x^3-1)^2}\\
f'(x)=\frac{x^3(x^3-4)}{(x^3-1)^2}\\
f'(x)>0\iff\;\;x\in (-\infty, 0)\cup (\sqrt[3]{4},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (0,\sqrt[3]{4})\setminus\{1\}\)

funkcja jest rosnąca w przedziałach \((-\infty, 0)\) oraz (\sqrt[3]{4},\infty)
funkcja jest malejąca w przedziałach \((0,1)\), \((1,\sqrt[3]{4})\)

Mam pytanie czy zawsze można "wywalić" mianownik i przyrównać pochodną do licznika?

[eresh]

Mam pytanie czy zawsze można "wywalić" mianownik i przyrównać pochodną do licznika?

nie można tak robić

jeśli badasz znak pochodnej, czyli rozwiązujesz nierówności f'(x)<0 i f'(x)>0, to zawsze możesz pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat mianownika

[mochel]

Mam pytanie czy zawsze można "wywalić" mianownik i przyrównać pochodną do licznika?

nie można tak robić

jeśli badasz znak pochodnej, czyli rozwiązujesz nierówności f'(x)<0 i f'(x)>0, to zawsze możesz pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat mianownika

Właśnie tak zrobiłam i w pierwszym przykładzie wychodzi mi:
\(x^3(x^3-4)(x^3-1)(x^3+1)>0\)
\(x1=0 x2= \sqrt[3]{4} x3=1 x4=-1\)
i po podstawianiu do "siatki znaków" wychodzi mi błędny wynik

[eresh]

Mam pytanie czy zawsze można "wywalić" mianownik i przyrównać pochodną do licznika?

nie można tak robić

jeśli badasz znak pochodnej, czyli rozwiązujesz nierówności f'(x)<0 i f'(x)>0, to zawsze możesz pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat mianownika

Właśnie tak zrobiłam i w pierwszym przykładzie wychodzi mi:
\(x^3(x^3-4)(x^3-1)(x^3+1)>0\)
\(x1=0 x2= \sqrt[3]{4} x3=1 x4=-1\)
i po podstawianiu do "siatki znaków" wychodzi mi błędny wynik

chyba nie do końca tak zrobiłaś


\(\frac{x^3(x^3-4)}{(x^3-1)^2}>0\;\;\; \bez \cdot (x^3-1)^2, \;x\neq 1\\
x^3(x^3-4)>0\\
x_1=0\\
x_2=\sqrt[3]{4}\)

[Galen]

Mam pytanie czy zawsze można "wywalić" mianownik i przyrównać pochodną do licznika?

nie można tak robić

jeśli badasz znak pochodnej, czyli rozwiązujesz nierówności f'(x)<0 i f'(x)>0, to zawsze możesz pomnożyć obie strony nierówności przez kwadrat mianownika

Właśnie tak zrobiłam i w pierwszym przykładzie wychodzi mi:
\(x^3(x^3-4)(x^3-1)(x^3+1)>0\)
\(x1=0 x2= \sqrt[3]{4} x3=1 x4=-1\)
i po podstawianiu do "siatki znaków" wychodzi mi błędny wynik

Zwróć uwagę,że \(f'(x)=\frac{x^3(x^3-4)}{(x^3-1)^2}\;\;\;\;i\;\;\;D_f= \rr \bez \left\{ 1\right\}\) . Mianownik jest
kwadratem wyrażenia,więc w podanej dziedzinie jest dodatni.
O znaku pochodnej decyduje licznik,stąd nierówności:
\(f'(x)>0\;\;\;gdy\;\;\;x^3(x^3-4)>0\\x\in (-\infty;0)\;\;\;\;oraz\;\;\;\;x\in ( \sqrt[3]{4};+\infty)\)

\(f'(x)<0\;\;\;gdy\;\;\;x^3(x^3-4)<0\\x\in (0;1)\;\;\;\;oraz\;\;\;\;x\in (1; \sqrt[3]{4})\)