pola z całkami

[mochel]

Oblicz pola figur ograniczonych liniami:
\(1) y=x^2+4x\)
\(y=x+4\)
\(2) y=-2x^2+9\)
\(y=6x\)
\(3)y=4-x^2\)
\(y=x^2-2x\)
\(4)y= \ln x\)
\(y=1\)
\(x=e^3\)
\(5)y=x^2+1\)
\(y=0\)
\(x=0\)
\(x=2\)

[eresh]

Oblicz pola figur ograniczonych liniami:
\(1) y=x^2+4x\)
\(y=x+4\)

\(x^2+4x=x+4\\
x^2+3x-4=0\\
x=1 \vee x=-4\\
P=\int_{-4}^1(4+x-x^2-4x)dx=\int_{-4}^1(-x^2-3x+4)dx= \left[ -\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+4x\right] _{-4}^1=\\=-\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+4-\frac{64}{3}+24+16=\frac{125}{6}\)

[eresh]

Oblicz pola figur ograniczonych liniami:

\(2) y=-2x^2+9\)
\(y=6x\)

\(-2x^2+9=6x\\
-2x^2-6x+9=0\\
x_1=\frac{6-6\sqrt{3}}{-4}=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}\\
x_2=\frac{3\sqrt{3}+3}{2}\)

\(P=\int _{\frac{3\sqrt{3}-3}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}+3}{2}}(-2x^2+9-6x)dx= \begin{bmatrix}-\frac{2x^3}{3}+9x-3x^2\end{bmatrix}_{\frac{3\sqrt{3}-3}{2}}^{\frac{3\sqrt{3}+3}{2}}=...\)

[eresh]

Oblicz pola figur ograniczonych liniami:

\(3)y=4-x^2\)
\(y=x^2-2x\)

\(4-x^2=x^2-2x\\
-2x^2+2x+4=0\\
x=-1 \vee x=2\)

\(P=\int_{-1}^2(4-x^2-x^2+2x)dx=\int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx= \left[ \frac{-2x^3}{3}+x^2+4x\right] _{-1}^2=-\frac{16}{3}+4+8-\frac{2}{3}-1+4=9\)

[eresh]

Oblicz pola figur ograniczonych liniami:

\(4)y= \ln x\)
\(y=1\)
\(x=e^3\)

\(\ln x=1\\
x=e\)

\(P=\int_e^{e^3}(\ln x-1)dx= \left[x\ln x -2x \right] _e^{e^3}=3e^3-2e^3-e+2e=e^3+e\)

[eresh]

Oblicz pola figur ograniczonych liniami:

\(5)y=x^2+1\)
\(y=0\)
\(x=0\)
\(x=2\)

\(P=\int_0^2(x^2+1)dx= \left[\frac{x^3}{3}+x \right] _0^2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}\)

[mochel]

Oblicz pola figur ograniczonych liniami:
\(1) y=x^2+4x\)
\(y=x+4\)

\(x^2+4x=x+4\\
x^2+3x-4=0\\
x=1 \vee x=-4\\
P=\int_{-4}^1(4+x-x^2-4x)dx=\)

skąd wiadomo co od czego odjąć?

[radagast]

skąd wiadomo co od czego odjąć?

Właściwie to wszystko jedno. Wystarczy wziąć wartość bezwzględną (pole musi być nieujemne).