całkowanie przez części

[mochel]

Oblicz całki oznaczone metodą przez części (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)
1)\(\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }x* \sin xdx\)
2)\(\int_{-1}^{3} x^2*e^xdx\)
3)\(\int_{ -\pi }^{- \pi } \sin ^2 \frac{x}{2} dx\)
4)\(\int_{0}^{e-1} \ln (x+1)dx\)

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą przez części (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)
1)\(\int_{0}^{ \frac{ \pi }{2} }x* \sin xdx\)

\(\int x\sin xdx= \begin{bmatrix}u(x)=x&u'(x)=1\\v'(x)=\sin x&v(x)=-\cos x \end{bmatrix} =-x\cos x+\int\cos xdx=-x\cos x+\sin x+C\\
\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx= \begin{bmatrix}-x\cos x+\sin x\end{bmatrix}_0^{\frac{\pi}{2}}=1\)

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą przez części (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)

2)\(\int_{-1}^{3} x^2*e^xdx\)

\(\int x^2e^xdx= \begin{bmatrix}u(x)=x^2&u'(x)=2x\\v'(x)=e^x&v(x)=e^x \end{bmatrix}=x^2e^x-2\int xe^xdx=\\= \begin{bmatrix}u(x)=x&u'(x)=1\\v'(x)=e^x&v(x)=e^x \end{bmatrix}=x^2e^x-2e^xx+2\int e^xdx=e^x(x^2-2x+2)+C=\\
\int_{-1}^3 x^2e^xdx= \left[e^x(x^2-2x+2)\right] _{-1}^2=2e^2-5e^{-1}\)

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą przez części (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)

3)\(\int_{ -\pi }^{- \pi } \sin ^2 \frac{x}{2} dx\)

serio tak wyglądają granice całkowania?

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą przez części (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)

4)\(\int_{0}^{e-1} \ln (x+1)dx\)

\(\int \ln (x+1)dx= \begin{bmatrix} u(x)=\ln (x+1)&u'(x)=\frac{1}{x+1}\\v'(x)=1&v(x)=x\end{bmatrix}=x\ln (x+1)-\int\frac{xdx}{x+1}=x\ln (x+1)-\int \frac{x+1-1}{x+1}dx=x\ln (x+1)-\int (1-\frac{1}{1+x})dx=x\ln (x+1)-x+\ln |1+x|+C\\
\int _0^{e-1} \ln (x+1)dx= \left[x\ln (x+1)-x+\ln |1+x| \right]_0^{e-1} =e-1-e+1+1=1\)