Wyznacz punkt węzłowy

[piotrek6116]

Dzień dobry,

chciałbym dopytać jak rozwiązać układ równań dla postaci parametrycznej równania:

\(x=\frac{u(u-2)}{u-1}\) ; \(y=\frac{u^3(u-2)}{(u-1)(u+1)^2}\)

następnie formujemy układ równań w postaci:

\(\frac{u_1(u_1-2)}{u_1-1}\) = \(\frac{u_2(u_2-2)}{u_2-1}\)

\(\frac{u_1^{3}(u_1-2)}{(u_1-1)(u_1+1)^2}\) = \(\frac{u_2^{3}(u_2-2)}{(u_2-1)(u_2+1)^2}\)

Na tej podstawie układ u ma wartości 0 i 2 tylko nie wiem jak rozwiązać ten układ równań?

Dodatkowo układ ma drugie rozwiązanie wyznaczamy:

\(\frac{u_1^{2}}{(u_1+1)^{2}}\) = \(\frac{u2^{2}}{(u_2+1)^{2}}\)

I również nie wiem skąd otrzymujemy wynik układu równań liniowych: \(u_1u_2 = -2/3\) ; \(u_1 + u_2 = 4/3\)

Jeśli ktoś by miał takie zadania tego typu + rozwiązania prosiłbym o info, szukam na forum i zbytnio nie ma. Dziękuje

[kerajs]

Szukasz gdzie krzywa zadana parametrycznie \((f(u),g(u))\) się przecina.
Zakładasz że istnieje taki punkt węzłowy P, czyli krzywa przechodzi przez niego dla dwóch rożnych wartości u.
\(P=(f(u_1),g(u_1)) = (f(u_2),g(u_2)) \wedge u_1 \neq u_2\)
Porównując współrzędne masz układ:
\(\begin{cases} f(u_1)=f(u_2)\\g(u_1)=g(u_2)\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{u_1(u_1-2)}{u_1-1}=\frac{u_2(u_2-2)}{u_2-1}\\\frac{u_1^{3}(u_1-2)}{(u_1-1)(u_1+1)^2}=\frac{u_2^{3}(u_2-2)}{(u_2-1)(u_2+1)^2}\end{cases}\)
Rozpisanie drugiego równania:
\(\begin{cases}\frac{u_1(u_1-2)}{u_1-1}=\frac{u_2(u_2-2)}{u_2-1}\\\frac{u_1(u_1-2)}{u_1-1}\frac{u_1^{2}}{(u_1+1)^2}=\frac{u_2(u_2-2)}{u_2-1}\frac{u_2^{2}}{(u_2+1)^2}\end{cases}\)
pozwala zauważyć że miejsce zerowe pierwszego równania spełnia także równanie drugie.
a)
\(u_1=0 \So u_2(u_2-2)=0 \So u_2=0 \vee u_2=2\)
Ponieważ \(u_1 \neq u_2\) to rozwiązaniem jest para \(u_1=0 \wedge u_2=2\)
b)
analogicznie
\(u_1=2 \So u_2(u_2-2)=0 \So u_2=0 \vee u_2=2\)
Ponieważ \(u_1 \neq u_2\) to rozwiązaniem jest para \(u_1=2 \wedge u_2=0\)
To nie są dwa rozwiązania, ale jeden punkt (0,0) przez który przechodzi krzywa dla \(u=0\) oraz dla \(u=2\)
Nic nie szkodzi jeśli tego rozwiązania się nie zauważy, gdyż i tak je dostaniesz z rozwiązania układu. Nagrodą za spostrzegawczość jest uproszczenie układu (ale wtedy już powyższego rozwiązania nie otrzymasz)
\(\begin{cases}\frac{u_1(u_1-2)}{u_1-1}=\frac{u_2(u_2-2)}{u_2-1} \neq 0\\\frac{u_1^{2}}{(u_1+1)^2}=\frac{u_2^{2}}{(u_2+1)^2}\end{cases}\)
\(\begin{cases} (u_1^2-2u_1)(u_2-1)=(u_2^2-2u_2)(u_1-1)\\u_1^2(u_2+1)=u_2^2(u_1+1)\end{cases}\)
\(\begin{cases}(u_1-u_2)(u_1u_2-u_1-u_2+2)=0 \wedge u_1 \neq u_2\\(u_1-u_2)(2u_1u_2+u_1+u_2)=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}u_1u_2-u_1-u_2+2=0\\2u_1u_2+u_1+u_2=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}3u_1u_2+2=0\\ 2 \cdot \frac{-2}{3} +u_1+u_2=0 \end{cases}\)
Czyli masz układ o który pytałeś, ale nie jest on układem liniowym. Pozostaje go rozwiązać (np: metodą podstawiania)

Co do podobnych zadań to szukaj w przykładach typu:
Oblicz pole ograniczone krzywą parametryczną.
Tam szukanie węzłów jest fragmentem rozwiązania.