całki oznaczone

[mochel]

Oblicz całki oznaczone metodą podstawiania (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)
1)\(\int_{0}^{1} \frac{xdx}{(x^2+1)^2}\)
2)\(\int_{1}^{2} \frac{3x}{2x^2+1} dx\)
3)\(\int_{1}^{e^3} \frac{dx}{x* \sqrt{1+ \ln x} }\)
4)\(\int_{0}^{2} \frac{3x^2}{ \sqrt{2x^3+9} }\)

[kerajs]

Podstawienia:
1)
\(t=x^2+1\)
\(1 \le t \le 2\)
2)
\(t=2x^2+1\)
\(... \le t \le ...\)
3)
\(t=1+\ln x\)
\(... \le t \le ...\)
4)
\(t=2x^3+9\)
\(... \le t \le ...\)
Ile wynoszą nowe granice całkowania? Jak wyglądają całki po podstawieniu i zmianie granic?

[korki_fizyka]

1. podstaw \(t = x^2 + 1\)
itd.

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą podstawiania (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)
1)\(\int_{0}^{1} \frac{xdx}{(x^2+1)^2}\)

\(\int\frac{xdx}{(x^2+1)^2}= \begin{bmatrix} x^2+1=t\\2xdx=dt\\xdx=0,5dt\end{bmatrix} =\int\frac{0,5dt}{t^2}=0,5\int t^{-2}dt=-0,5t^{-1}+C=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C\\
\int_0^1\frac{xdx}{(x^2+1)^2}= \left[ -\frac{1}{2(x^2+1)}\right]_0^1=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą podstawiania (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)

2)\(\int_{1}^{2} \frac{3x}{2x^2+1} dx\)

\(\int\frac{3xdx}{2x^2+1}= \begin{vmatrix} 2x^2+1=t\\4xdx=dt\\xdx=0,25dt\end{vmatrix}=\int\frac{3\cdot 0,25dt}{t}=0,75\ln|t|+C=0,75\ln |2x^2+1|+C\\
\int_{1}^{2} \frac{3x}{2x^2+1} dx= \left[0,75\ln |2x^2+1| \right] _1^2=0,75\ln 9-0,75\ln 3=0,75\ln 3\)

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą podstawiania (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)

3)\(\int_{1}^{e^3} \frac{dx}{x* \sqrt{1+ \ln x} }\)

\(\int\frac{dx}{x\sqrt{1+\ln x}}= \begin{vmatrix} 1+\ln x=t^2\\ \frac{dx}{x}=2tdt\end{vmatrix} =\int\frac{2tdt}{t}=2\int dt=2t+C=2\sqrt{1+\ln x}+C\\
\int_1^{e^3}\frac{dx}{x\sqrt{1+\ln x}}= \left[ 2\sqrt{1+\ln x}\right]_1^{e^3}=4-2=2\)

[eresh]

Oblicz całki oznaczone metodą podstawiania (najpierw oblicz całki oznaczone, później podstaw do oznaczonych)

4)\(\int_{0}^{2} \frac{3x^2}{ \sqrt{2x^3+9} }\)

\(\int\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3+9}}dx= \begin{vmatrix} 2x^3+9=t^2\\6x^2dx=2tdt\\3x^2dx=tdt\end{vmatrix} =\int\frac{tdt}{t}=\int dt=t+c=\sqrt{2x^3+9}+c\\
\int_0^2\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3+9}}dx= \left[ \sqrt{2x^3+9}\right] _0^2=5-3=2\)

[kerajs]

Bez sensu. Po co zadaję jakiekolwiek pytania jak mochel nawet nie ma szansy na nie odpowiedzieć!
Polecam wypowiedź w SB użytkownika Matematyk_64 z 22 Lut 2017

PS
I po co tyle postów skoro wszystkie rozwiązania można zapisać na jednym?