całki nieoznaczone

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
mochel
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 405
Rejestracja: 12 paź 2014, 12:46
Podziękowania: 361 razy

całki nieoznaczone

Post autor: mochel »

Oblicz całki metodą podstawiania
1) \(\int_{}^{} \frac{9x}{4+3x^2}dx\)
2)\(\int_{}^{} \tg xdx\)
3)\(\int_{}^{} \frac{e^{2x}}{e^x+4} dx\)
4)\(\int_{}^{} \frac{ \cos x}{3 \sin x-1} dx\)
5)\(\int_{}^{} \frac{2x}{ \sqrt[3]{8x^2+11} }dx\)
6)\(\int_{}^{} 4x* \ctg (7x^2-3)dx\)
7)\(\int_{}^{} 2x*2^{-3x^2+1}dx\)
\(8)\int_{}^{} x* \sqrt[4]{(3+2x^2)^3} dx\)
9)\(\int_{}^{} 3x^2* \tg (5x^3-7)dx\)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania
1) \(\int_{}^{} \frac{9x}{4+3x^2}dx\)
\(4+3x^2=t\\
6xdx=dt\\
xdx=\frac{1}{6}dt\\
\int\frac{9\cdot\frac{1}{6}dt}{t}=\frac{3}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{3}{2}\ln|t|+C=\frac{3}{2}\ln (4+3x^2)+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania

2)\(\int_{}^{} \tg xdx\)

\(\cos x=t\\
-\sin xdx=dt\\
\int\tg xdx=\int\frac{\sin xdx}{\cos x}=-\int\frac{dt}{t}=-\ln|t|+C=-\ln |\cos x|+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania

3)\(\int_{}^{} \frac{e^{2x}}{e^x+4} dx\)
\(e^x+4=t\\
e^x=t-4\\
e^xdx=dt\)


\(\int\frac{e^x\cdot e^xdx}{e^x+4}=\int\frac{(t-4)dt}{t}=\int(1-\frac{4}{t})dt=t-4\ln|t|+C=(e^x+4)-4\ln|e^x+4|+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania

4)\(\int_{}^{} \frac{ \cos x}{3 \sin x-1} dx\)

\(3\sin x-1=t\\
3\cos xdx=dt\\
\cos xdx=\frac{1}{3}dt\\
\int\frac{\cos xdx}{3\sin x-1}=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln |t|+C=\frac{1}{3}\ln |3\sin x-1|+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania
5)\(\int_{}^{} \frac{2x}{ \sqrt[3]{8x^2+11} }dx\)

\(8x^2+11=t\\
16xdx=dt\\
2xdx=\frac{1}{8}dt\\
\int\frac{2xdx}{\sqrt[3]{8x^2+11}}=\int\frac{\frac{1}{8}dt}{t^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{8}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{16}\sqrt[3]{(8x^2+11)^2}+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania

6)\(\int_{}^{} 4x* \ctg (7x^2-3)dx\)
\(7x^2-3=t\\
14xdx=dt\\
xdx=\frac{1}{14}dt\\
\int 4x\ctg (7x^2-3)dx=\frac{4}{14}\int\ctg tdt=\frac{2}{7}\int\frac{\cos tdt}{\sin t}= \left[ \sin t=u \So \cos tdt=du\right]=\\=\frac{2}{7}\int\frac{du}{u}=\frac{2}{7}\ln|u|+C=\frac{2}{7}\ln|\sin t|+C=\frac{2}{7}\ln |\sin (7x^2-3)|+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania

7)\(\int_{}^{} 2x*2^{-3x^2+1}dx\)
\(-3x^2+1=t\\
-6xdx=dt\\
2xdx=-\frac{1}{3}dt\\
\int (2x\cdot 2^{-3x^2+1})dx=-\frac{1}{3}\int 2^t dt=-\frac{1}{3}\frac{2^t}{\ln 2}+C=-\frac{2^{-3x^2+1}}{3\ln 2}+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania

\(8)\int_{}^{} x* \sqrt[4]{(3+2x^2)^3} dx\)
\(3+2x^2=t\\
4xdx=dt\\
xdx=\frac{1}{4}dt\\
\int x\sqrt[4]{(3+2x^2)^3}dx=\frac{1}{4}\int\sqrt[4]{t^3}=\frac{1}{4}\int t^{-\frac{3}{4}}dt=\frac{1}{4}\cdot 4t^{\frac{1}{4}}+C=\sqrt[4]{3+2x^2}+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: całki nieoznaczone

Post autor: eresh »

mochel pisze:Oblicz całki metodą podstawiania

9)\(\int_{}^{} 3x^2* \tg (5x^3-7)dx\)
\(5x^3-7=t\\
15x^2dx=dt\\
3x^2dx=\frac{1}{5}dt\\
\frac{1}{5}\int\frac{\sin t}{\cos t}dt=-\frac{1}{5}\ln|\cos t|+C=-\frac{1}{5}\ln|\cos (5x^3-7)|+C\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
ODPOWIEDZ