Ekstrema funkcji uwikłanej

[konrad00]

Mam znaleźć ekstrema funkcji uwikłanej postaci \(x^{3}+y^{3}-12xy=0\). Punkty stacjonarne wychodzą mi (0,0) i \((4 \sqrt[3]{2}, 4 \sqrt[3]{4})\). O ile z drugim punktem nie ma problemu, to z pierwszym jest, po w drugiej pochodnej w mianowniku wychodzi 0. Wiem, że w tym przypadku kryterium tego nie rozstrzygnie, ale chciałbym jeszcze sprawdzić, czy da się sprawdzić ten punkt gdy zamiast y=y(x) zastosujemy x=x(y). Wtedy wzory na pierwsze i drugie pochodne są analogiczne, tyle, e na odwrót. I tu właśnie pojawia mi się problem, bo badając ekstrema w ten sposób, wychodzą mi inne punkty stacjonarne. Co robię źle?

[panb]

Warunek konieczny istnienia ekstremum: \(\begin{cases}\frac{ \partial f}{ \partial x}=0 \\f(x,y)=0\\ \frac{ \partial f}{ \partial y} \neq 0 \end{cases}\) spełniają dwa punkty: \(\left( 4 \sqrt[3]{2},4 \sqrt[3]{4} \right) \,\,\, i \,\,\, \left(-2 \sqrt[3]{4} ,2 \sqrt[3]{2} \right)\)
Punkt (0,0), który sprawiał ci problem został wykluczony, bo pochodna po igreku się w nim zeruje.
Za to doszedł jeszcze jeden punkt, który jakoś ci umknął.

Sprawdź i kontynuuj - powinno już być ok.