Równanie różniczkowe

[pankleks1000]

Rozwiązać równanie w następującej postaci: \(y'+ \frac{y}{x} =x^2\)

[radagast]

rozwiązaniem jest:
\(y= \frac{1}{4}x^3+ \frac{C}{x},\ C \in R\)
(Rozwiąż najpierw jednorodne, potem uzmiennij stałą.)

[eresh]

Rozwiązanie:

Spoiler

\(y'+\frac{y}{x}=0\\
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\\
\ln |y|=-\ln|x|+c\\
y=\frac{C}{x}\\
y'=\frac{C'x-C}{x^2}\\\)


\(y'+\frac{y}{x}=0\\
\frac{C'}{x}-\frac{C}{x^2}+\frac{C}{x^2}=x^2\\
\frac{C'}{x}=x^2\\
C'=x^3\\
C=\frac{x^4}{4}\\
y=\frac{C}{x}+\frac{x^3}{4}\)