równania różniczkowe

Granice, pochodne, całki, szeregi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
margor
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 15
Rejestracja: 11 gru 2016, 20:14
Podziękowania: 3 razy

równania różniczkowe

Post autor: margor »

a) y^2+x^2y'=xyy'
b) xdy − ydx = ydy , y(−1) =1
c) y'=\(\frac{x+y}{x}\)

nie potrafię doprowadzić ich do równań o zmiennych rozdzielonych, chyba należy zastosować podstawienie
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Post autor: panb »

zacznę od najłatwiejszego :)
c) \(y'= \frac{x+y}{x} \So xy'-y=x\)
Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne, potem uzmienniamy stałą. Coś ci to mówi?
  1. Jednorodne: \(xy'-y=0 \So xy'=y \So \frac{y'}{y}= \frac{1}{x} \So \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \So y=cx\)
  2. uzmienniamy stałą c, tzn. c=c(x). Wtedy \(y'=c'x+c\) i nasze równanie przyjmuje postać \(c'x^2+cx-cx=x\), czyli \(c'= \frac{1}{x} \So c=\ln Cx\), a szukana funkcja \(y=x\ln Cx\)
Łatwo sprawdzić, że spełnia ona zadane równanie.
  • Odp.: \(y'= \frac{x+y}{x} \So y=x\ln Cx\)
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: równania różniczkowe

Post autor: panb »

margor pisze:a) y^2+x^2y'=xyy'
\(y^2+x^2y'=xyy' \So y'= \frac{y^2}{xy-x^2} \iff y'= \frac{(y/x)^2}{y/x-1}\)
Podstawiamy \(v= \frac{y}{x} \So y'=v'x+v\) i równanie przyjmuje postać
\(v'x+v= \frac{v^2}{v-1} \So v'x= \frac{v^2}{v-1}-v= \frac{v}{v-1}\)
Czyli ostatecznie \(\frac{v-1}{v}dv = \frac{dx}{x} \So v-\ln v=\ln Cx \So \frac{e^v}{v}=Cx\)

Wracamy z podstawieniem: \(\frac{xe^{ \frac{y}{x} }}{y}=Cx \So \frac{e^ \frac{y}{x} }{y}=C\)

I w takiej, uwikłanej, postaci pozostawiamy to rozwiązanie.
  • Rozwiązaniem równania różniczkowego \(y^2+y'x^2=xyy'\) jest funkcja \(y=y(x)\) spełniająca równanie \(\frac{e^ \frac{y}{x} }{y}=C\)
(Nie)łatwo sprawdzić różniczkując obie strony, że faktycznie równanie z zadania jest wtedy spełnione.
Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5122
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 19 razy
Otrzymane podziękowania: 2053 razy
Płeć:

Re: równania różniczkowe

Post autor: panb »

margor pisze:b) xdy − ydx = ydy , y(−1) =1
\(xdy − ydx = ydy /:dx \So xy'-y=yy' \iff y'(x-y)=y \So y'= \frac{y}{x-y}= \frac{y/x}{1-y/x}\)
Podstawiamy jak w a) i otrzymujemy rozwiązanie w postaci uwikłanej \(ye^{ \frac{x}{y} }=C\)
Uwzględniając warunek początkowy dostajemy \(C= \frac{1}{e}\) i ostateczna odpowiedz, to
  • Odp.: funkcja będąca rozwiązaniem równania \(xdy-ydx=ydy\) z warunkiem \(y(-1)=1\) spełnia równanie uwikłane \(ye^{1+ \frac{y}{x} }=1\)
ODPOWIEDZ