Obliczyć pole płata S powierzchni

[dobrzyc]

Obliczyć pole płata S powierzchni \(z= \sqrt{x^2-y^2}\), którego rzutem na płaszczyznę XOY jest prostokąt ograniczony prostymi \(x=2, x=4, y=0, y=2\)

Liczyłam ze wzoru:
\(S= \int_{D}^{} \int_{}^{} \sqrt{1+( \frac{ \partial z}{ \partial x} )^2+( \frac{ \partial z}{ \partial y} )^2} dxdy\)

Obszar \(\begin{cases}2 \le x \le 4 \\ 0 \le y \le 2 \end{cases}\)

\(\int_{2}^{4} [ \int_{0}^{2} (\sqrt{ \frac{2x^2}{x^2-y^2} }) dy]dx= \int_{2}^{4} [ \sqrt{2} \int_{0}^{2} (\sqrt{ \frac{x^2}{x^2-y^2} }) dy]dx= ...\)

cokolwiek dalej probuje zrobic to nie wychodzi. prosze o pomoc

[kerajs]

\(\int_{}^{} \sqrt{ \frac{x^2}{x^2-y^2} } dy= \int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{1-( \frac{y}{x} )^2} } dy= x\arcsin \frac{y}{x} +C\)

[dobrzyc]

Dziękuję
\(...= \sqrt{2} \int_{2}^{4} x \cdot arcsin( \frac{y}{x}) \cdot dx=...\)

Nie wiem co zrobić z tym y w liczniku

[kerajs]

\(\int_{0}^{2} \sqrt{ \frac{x^2}{x^2-y^2} } dy= \int_{0}^{2} \frac{1}{ \sqrt{1-( \frac{y}{x} )^2} } dy= x\arcsin \frac{y}{x} \ |_0^2=x\arcsin \frac{2}{x}-x\arcsin \frac{0}{x}=x\arcsin \frac{2}{x}\)

[dobrzyc]

dziekuje