Obliczyc pole czesci plaszczyzny \(x+y+4z=12\) wyecietej walcem \(x^2-2x+y^2-4y=0\) . Proszę o pomoc.
Czy to bedzie płat powierzchniowy?
Obliczyc pole czesci plaszczyzny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\((x^2 -2x +1)+ (y^2- 4y +4) = 5, \ \ (x- 1)^2 + (y- 2)^2 = 5.\)
\(z(x,y)= 3 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y.\)
\(|S| = \int \int_{(S)}dS = \int \int_{(D)} \sqrt{ 1 + z'^2_{|x}(x,y) +z'^2_{|y}(x,y)}dxdy.\)
\(z'_{|x}(x,y) = -\frac{1}{3}, \ \ z'_{|y}(x,y) = -\frac{1}{3}.\)
Wprowadzamy współrzędne biegunowe:
\(\kappa(\phi, r ): \ \ x = rcos(\phi), \ \ y =r\sin(\phi), \ \ J(r, \phi) = r.\)
Podstawiając do równania walca, otrzymujemy
\({D} =\left\{ (\phi, r): \ \ 0 \leq \phi \leq 2\pi \wedge 0 \leq r \leq 2\cos(\phi) + 4\sin(\phi) \right\}.\)
\(|S| = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\cos(\phi)+4\sin(\phi)}r\sqrt{1 +\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left (-\frac{1}{3} \right)^2} dr d\phi\)
Ale caly czas cos mi sie nie zgadza, poniewaz odpowiedz to: \(\frac{15\sqrt{2}\pi}{4}\)
\(z(x,y)= 3 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y.\)
\(|S| = \int \int_{(S)}dS = \int \int_{(D)} \sqrt{ 1 + z'^2_{|x}(x,y) +z'^2_{|y}(x,y)}dxdy.\)
\(z'_{|x}(x,y) = -\frac{1}{3}, \ \ z'_{|y}(x,y) = -\frac{1}{3}.\)
Wprowadzamy współrzędne biegunowe:
\(\kappa(\phi, r ): \ \ x = rcos(\phi), \ \ y =r\sin(\phi), \ \ J(r, \phi) = r.\)
Podstawiając do równania walca, otrzymujemy
\({D} =\left\{ (\phi, r): \ \ 0 \leq \phi \leq 2\pi \wedge 0 \leq r \leq 2\cos(\phi) + 4\sin(\phi) \right\}.\)
\(|S| = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\cos(\phi)+4\sin(\phi)}r\sqrt{1 +\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left (-\frac{1}{3} \right)^2} dr d\phi\)
Ale caly czas cos mi sie nie zgadza, poniewaz odpowiedz to: \(\frac{15\sqrt{2}\pi}{4}\)