Witam
Proszę o rozwiązanie całek:
1) \(\int_{0}^{ \infty } e^{ax} \sin bxdx\) a i b to stałe
2) \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)
3) \(\int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{1+x^4}\)
4) \(\int_{0}^{ \infty } \frac{dx}{x \sqrt{1+x^5+x^10} }\)
5) \(\int_{0}^{ \infty } \frac{x lnx}{(1+x^2)^2}dx\)
Z góry dziękuję
Całki oznaczone niewłaściwe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 26
- Rejestracja: 05 gru 2016, 21:15
- Podziękowania: 20 razy
-
- Expert
- Posty: 6261
- Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
- Podziękowania: 83 razy
- Otrzymane podziękowania: 1523 razy
- Płeć:
a sam nie potrafisz sięgnąć do literatury ?
Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
mailto: korki_fizyka@tlen.pl
-
- Dopiero zaczynam
- Posty: 26
- Rejestracja: 05 gru 2016, 21:15
- Podziękowania: 20 razy
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Weźmy drugi przykład (nie ma tam żadnych a ani b).
\(D=(- \infty ,1)\). Ponieważ \(1 \notin D\), więc \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} } = \Lim_{c\to 1^-} \int_{0}^{c} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)
Tak czy siak, całkę nieoznaczoną \(\int \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)trzeba policzyć.
Podstawiając \(1-x=t^2 \So 2-x=1+t^2,\,\,\, -dx=2tdt \So dx=-2tdt\) otrzymujemy \[\int \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }=-2\arctg \sqrt{1-x} +C\] Teraz
\(\int_{0}^{c} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }=-2\arctg \sqrt{1-c}+2\arctg \sqrt{1-0}= \begin{vmatrix}fakt\\\arctg1= \frac{\pi}{4} \end{vmatrix}= \frac{\pi}{2}-2\arctg \sqrt{1-c}\)
Ponieważ \(\Lim_{c\to1^- }\frac{\pi}{2}-2\arctg \sqrt{1-c}= \frac{\pi}{2}-0= \frac{\pi}{2}\), więc
\(D=(- \infty ,1)\). Ponieważ \(1 \notin D\), więc \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} } = \Lim_{c\to 1^-} \int_{0}^{c} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)
Tak czy siak, całkę nieoznaczoną \(\int \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }\)trzeba policzyć.
Podstawiając \(1-x=t^2 \So 2-x=1+t^2,\,\,\, -dx=2tdt \So dx=-2tdt\) otrzymujemy \[\int \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }=-2\arctg \sqrt{1-x} +C\] Teraz
\(\int_{0}^{c} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }=-2\arctg \sqrt{1-c}+2\arctg \sqrt{1-0}= \begin{vmatrix}fakt\\\arctg1= \frac{\pi}{4} \end{vmatrix}= \frac{\pi}{2}-2\arctg \sqrt{1-c}\)
Ponieważ \(\Lim_{c\to1^- }\frac{\pi}{2}-2\arctg \sqrt{1-c}= \frac{\pi}{2}-0= \frac{\pi}{2}\), więc
- Odp.: \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{(2-x) \sqrt{1-x} }= \frac{\pi}{2}\)