Mam do rozwiazania jedna caleczke przez czesci, mianowicie: \(\int_{}^{} arccos(x)dx\).. Czy ktos moglby mi to rozwiazac sposobem na poziomie przecietniaka z drugiego semestru studiow?
Calka przez czesci - zadanko
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Calka przez czesci - zadanko
Dzien dobry,
Mam do rozwiazania jedna caleczke przez czesci, mianowicie: \(\int_{}^{} arccos(x)dx\).. Czy ktos moglby mi to rozwiazac sposobem na poziomie przecietniaka z drugiego semestru studiow?
Mam do rozwiazania jedna caleczke przez czesci, mianowicie: \(\int_{}^{} arccos(x)dx\).. Czy ktos moglby mi to rozwiazac sposobem na poziomie przecietniaka z drugiego semestru studiow?
-
sebnorth
- Stały bywalec
- Posty: 871
- Rejestracja: 11 gru 2010, 17:46
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Otrzymane podziękowania: 415 razy
- Płeć:
Re: Calka przez czesci - zadanko
\(\int uv' = uv - \int u'v\)
\(u = \arccos x, v'= 1\)
\(u' = - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }, v = x\)
\(\int \arccos x \cdot 1 dx = x \arccos x + \int \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } dx (\ast)\)
\(\int \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } dx\) obliczamy przez podstawienie, \(t = 1-x^2\), dostajemy całkę
\(\int \frac{1}{ \sqrt{t}} dt\) łatwą do policzenia
\(\int \frac{1}{ \sqrt{t }} dx = 2\sqrt{t} + C\)
ostatecznie \((\ast) = x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\)
\(u = \arccos x, v'= 1\)
\(u' = - \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }, v = x\)
\(\int \arccos x \cdot 1 dx = x \arccos x + \int \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } dx (\ast)\)
\(\int \frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } dx\) obliczamy przez podstawienie, \(t = 1-x^2\), dostajemy całkę
\(\int \frac{1}{ \sqrt{t}} dt\) łatwą do policzenia
\(\int \frac{1}{ \sqrt{t }} dx = 2\sqrt{t} + C\)
ostatecznie \((\ast) = x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\)