pomoc w rozwiązaniu całki

[rafalski_4]

Witam
Proszę o rozwiązanie całki:
\(\int_{}^{} x^2 \sqrt{a^2-x^2}dx\)
Z góry dziękuje za pomoc i pozdrawiam

[panb]

\(x^2 \sqrt{a^2-x^2}dx=ax^2 \sqrt{1- \left( \frac{x}{a} \right)^2 }dx\)

• Podstawiamy: \(\frac{x}{a}=\sin t \So x=a\sin t,\,\,\, dx=a\cos t dt\)

Mamy
\(\int x^2 \sqrt{a^2-x^2}dx=\int \left( a \cdot a^2\sin^2t \cdot \cos t \cdot a\cos t dt\right)=\int a^4\sin^2t\cos^2tdt\)

• Po zastosowaniu wzoru \(2\sin t\cos t=\sin2t\), dostajemy

\(\int a^4\sin^2t\cos^2tdt= \int\frac{1}{4}a^4\sin^2(2t)dt= \frac{1}{4}a^4\int \sin^2(2t)dt=\frac{1}{4}a^4\int \frac{1}{2} (1-\cos4t)dt\)

Dalej pewnie dasz radę. Może być (drobny) problem z powrotem z podstawienia. Podam ci wynik - jest inny niż w Wolframie, ale dobry - można sprawdzić całkując.

• Odp.: \(\int x^2 \sqrt{a^2-x^2}dx= \frac{1}{8}a^4\arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + \frac{1}{8}x(2x^2-a^2) \sqrt{a^2-x^2} +C\)

[Robakks]

Przez części
\(\int{x^2\sqrt{a^2-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^3}{3}\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^3}{3}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int{x^2\sqrt{a^2-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^3}{3}\sqrt{a^2-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{a^2x^2-x^4-a^2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mbox{d}x}\\
\frac{4}{3}\int{x^2\sqrt{a^2-x^2}\mbox{d}x}=\frac{x^3}{3}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{3}\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mbox{d}x}\\
\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=-x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mbox{d}x}\\
2\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}\mbox{d}x}-x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}}\\\)

Jak chcesz całkę z funkcji wymiernej to podstawiasz

\(\int{x^2\sqrt{a^2-x^2}\mbox{d}x}\\
\sqrt{a^2-x^2}= \left(a-x \right)t\\
a^2-x^2= \left(a-x \right)^2t^2\\
\left(a-x \right) \left(a+x \right)=\left(a-x \right)^2t^2\\
a+x=\left(a-x \right)t^2\\
a+x=at^2-xt^2\\
x+xt^2=at^2-a\\
x \left(t^2+1 \right)=a \left(t^2-1 \right)\\
x=a\frac{t^2-1}{t^2+1} =a-\frac{2a}{t^2+1}\\
(a-x)t=\frac{2at}{t^2+1}\\
\mbox{d}x=(-2a)(-1)(t^2+1)^{-2}(2t) \mbox{d}t\\
\mbox{d}x=\frac{4at}{(t^2+1)^2}\mbox{d}t\\
\int{a^2\frac{\left(t^2-1\right)^2}{\left(t^2+1\right)^2} \cdot \frac{2at}{t^2+1} \cdot \frac{4at}{(t^2+1)^2}\mbox{d}t }\\
8a^4\int{\frac{t^2\left(t^2-1\right)^2}{\left(t^2+1\right)^5}\mbox{d}t}\\\)