Granica funkcji dwóch zmiennych

[konrad00]

Oblicz granicę:
\(\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{y^{3}}{x^{4} + sin^{2}y}\)

Próbowałem współrzędnymi biegunowymi ale coś nie bardzo...

[panb]

Biegunowe odpadają z powodu \(\sin^2y\) - chyba, że się pomyliłeś.
Może pomoże ci oszacowanie:

• \(\frac{y^3}{x^4+1} \le \frac{y^3}{x^4+\sin^2y} \le \frac{y^3}{x^4-1}\)

[konrad00]

Dziękuję, a czy ktoś ma jeszcze pomysł na takie granice:
\(\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sqrt{9+x^{2}+y^{2}} - 3}{x^{2} + y^{2}}\)
\(\Lim_{(x,y)\to (2,0)} \frac{sin(xy^{2} )}{y^{2} + (x-2)^{2}}\)

[panb]

W pierwszym na pewno biegunowe pomogą!
Wynik : \(\frac{1}{6}\)

[panb]

Druga chyba nie istnieje - trzeba znaleźć 2 ciągi zbieżne do (2,0) i mające rożne granice.

[konrad00]

Druga chyba nie istnieje - trzeba znaleźć 2 ciągi zbieżne do (2,0) i mające rożne granice.

Kurczę nie mogę znaleźć takich ciągów... Może mała podpowiedź? Albo duża.

[panb]

Pierwsza para ciągów: \(x_n=2,\,\,\, y_n= \frac{1}{n}\). Wtedy \((x_n,y_n) \to (2,0)\) natomiast \(\Lim_{n\to \infty } \frac{\sin\frac{2}{n^2} }{ \frac{1}{n^2} }=2\)

Druga para ciągów: \(x_n=2+ \frac{1}{n} ,\,\,\, y_n=0\). Wtedy \(\left( x_n,y_n\right) \to (2,0)\) natomiast \(\Lim_{n\to \infty } \frac{\sin0}{ \frac{1}{n^2} }=0\)

To załatwia sprawę ....