forum.zadania.info

Proszę o pomoc w rozwiązaniu :\(2xy'+y= \frac{1}{y^3}\), metodą Bernoulliego y(0)=1.

Koniecznie musi być Bernoulliego
ponieważ wygodniej będzie rozwiązać jako równanie o rozdzielonych zmiennych
albo zgadnąć dwa czynniki całkujące

\(\left(y-\frac{1}{y^3} \right)dx+2xdy=0\\
\mu \left(x,y \right)=\frac{1}{x \left(y- \frac{1}{y^3} \right) }=\frac{y^3}{x \left(y^4-1\right) } \\\)

\(y'+\frac{y}{2x}=\frac{1}{2xy^3}\\
\mu \left(x,y \right)=\exp{ \left(\left(1- \left(-3 \right)\right)\int{\frac{1}{2x}dx} \right) }y^{- \left(-3 \right) }\\
\mu \left(x,y \right)=\exp{ \left(2\ln{x} \right) }y^3\\
\mu \left(x,y \right)=x^2y^3\\
\mu \left(x,y \right)=xy^3\\\)

\(\mu_{1} \left(x,y \right)=\frac{y^3}{x \left(y^4-1\right) }\\
\mu_{2} \left(x,y \right)=xy^3\\
F \left(x,y \right)=\frac{y^3}{x \left(y^4-1\right)} \cdot \frac{1}{xy^3}\\
F \left(x,y \right)=\frac{1}{x^2 \left(y^4-1\right)}\\
\frac{1}{x^2 \left(y^4-1\right)}=C\\
\frac{1}{y^4-1}=Cx^2\\
y^4-1=\frac{1}{Cx^2}\\
y^4=1+\frac{1}{Cx^2}\\\)

Jeśli musisz rozwiązywać jako równanie Bernoulliego podstaw \(u=y^{4}\)